Страница 78 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $5(x-4) > x+8;$

2) $3,6+5y \ge 7(1,2-y);$

3) $2x(3x-4)-3x(2x+5) < 7;$

4) $(x+7)^2 - (x-2)^2 \ge -15.$

1) $5(x - 4) > x + 8$
Раскроем скобки в левой части неравенства:
$5x - 20 > x + 8$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую часть неравенства, меняя их знаки на противоположные:
$5x - x > 8 + 20$
Приведем подобные слагаемые:
$4x > 28$
Разделим обе части неравенства на 4 (знак неравенства не меняется, так как 4 > 0):
$x > \frac{28}{4}$
$x > 7$
Решением неравенства является интервал $(7; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше 7, — это 8.
Ответ: 8

2) $3,6 + 5y \ge 7(1,2 - y)$
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$3,6 + 5y \ge 8,4 - 7y$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а постоянные члены — в правую:
$5y + 7y \ge 8,4 - 3,6$
Приведем подобные слагаемые:
$12y \ge 4,8$
Разделим обе части неравенства на 12:
$y \ge \frac{4,8}{12}$
$y \ge 0,4$
Решением неравенства является числовой луч $[0,4; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше или равно 0,4, — это 1.
Ответ: 1

3) $2x(3x - 4) - 3x(2x + 5) < 7$
Раскроем скобки:
$6x^2 - 8x - (6x^2 + 15x) < 7$
$6x^2 - 8x - 6x^2 - 15x < 7$
Приведем подобные слагаемые:
$(6x^2 - 6x^2) + (-8x - 15x) < 7$
$-23x < 7$
Разделим обе части неравенства на -23. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{7}{-23}$
$x > -\frac{7}{23}$
Решением неравенства является интервал $(-\frac{7}{23}; +\infty)$. Так как $-\frac{7}{23} \approx -0,3$, наименьшее целое число, которое больше $-\frac{7}{23}$, — это 0.
Ответ: 0

4) $(x + 7)^2 - (x - 2)^2 \ge -15$
Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((x + 7) - (x - 2))((x + 7) + (x - 2)) \ge -15$
Упростим выражения в каждой скобке:
$(x + 7 - x + 2)(x + 7 + x - 2) \ge -15$
$(9)(2x + 5) \ge -15$
$18x + 45 \ge -15$
Перенесем 45 в правую часть:
$18x \ge -15 - 45$
$18x \ge -60$
Разделим обе части на 18:
$x \ge \frac{-60}{18}$
Сократим дробь:
$x \ge -\frac{10}{3}$
$x \ge -3\frac{1}{3}$
Решением неравенства является числовой луч $[-3\frac{1}{3}; +\infty)$. Наименьшее целое число, которое больше или равно $-3\frac{1}{3}$, — это -3.
Ответ: -3

27. Решите неравенство:

1) $5x - 2 > 3(3x - 1) - 4x;$

2) $2(1.3x - 4) - 5(1 - 3.2x) \ge 3(6.2x - 4) - 1;$

3) $(2x + 3)^2 - x(2x - 1) \ge 2x(x + 6) + 10 + x;$

4) $-3x(x + 2) + (x + 2)(4 - x) < 10 - (2x + 1)^2.$

1) $5x - 2 > 3(3x - 1) - 4x$

Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:

$5x - 2 > 9x - 3 - 4x$

Теперь приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x - 2 > (9x - 4x) - 3$

$5x - 2 > 5x - 3$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$5x - 5x > 2 - 3$

$0 \cdot x > -1$

$0 > -1$

Полученное неравенство $0 > -1$ является верным числовым неравенством. Это означает, что исходное неравенство справедливо при любом значении переменной $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $2(1,3x - 4) - 5(1 - 3,2x) \ge 3(6,2x - 4) - 1$

Раскроем все скобки в обеих частях неравенства:

$2,6x - 8 - 5 + 16x \ge 18,6x - 12 - 1$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$(2,6x + 16x) + (-8 - 5) \ge 18,6x + (-12 - 1)$

$18,6x - 13 \ge 18,6x - 13$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$18,6x - 18,6x \ge 13 - 13$

$0 \cdot x \ge 0$

$0 \ge 0$

Мы получили верное числовое неравенство $0 \ge 0$. Это означает, что исходное неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) $(2x + 3)^2 - x(2x - 1) \ge 2x(x + 6) + 10 + x$

Раскроем скобки. Для $(2x + 3)^2$ используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(4x^2 + 12x + 9) - (2x^2 - x) \ge (2x^2 + 12x) + 10 + x$

$4x^2 + 12x + 9 - 2x^2 + x \ge 2x^2 + 12x + 10 + x$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$(4x^2 - 2x^2) + (12x + x) + 9 \ge 2x^2 + (12x + x) + 10$

$2x^2 + 13x + 9 \ge 2x^2 + 13x + 10$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:

$2x^2 + 13x + 9 - 2x^2 - 13x - 10 \ge 0$

$(2x^2 - 2x^2) + (13x - 13x) + (9 - 10) \ge 0$

$-1 \ge 0$

Полученное неравенство $-1 \ge 0$ является неверным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.

Ответ: $x \in \emptyset$.

4) $-3x(x + 2) + (x + 2)(4 - x) < 10 - (2x + 1)^2$

Раскроем все скобки. Для $(2x + 1)^2$ снова используем формулу квадрата суммы:

$(-3x^2 - 6x) + (4x - x^2 + 8 - 2x) < 10 - (4x^2 + 4x + 1)$

$-3x^2 - 6x + 4x - x^2 + 8 - 2x < 10 - 4x^2 - 4x - 1$

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

$(-3x^2 - x^2) + (-6x + 4x - 2x) + 8 < -4x^2 - 4x + (10 - 1)$

$-4x^2 - 4x + 8 < -4x^2 - 4x + 9$

Перенесем все слагаемые из правой части в левую с противоположным знаком:

$-4x^2 - 4x + 8 + 4x^2 + 4x - 9 < 0$

$(-4x^2 + 4x^2) + (-4x + 4x) + (8 - 9) < 0$

$-1 < 0$

Мы получили верное числовое неравенство $-1 < 0$, которое не зависит от $x$. Следовательно, исходное неравенство справедливо при любом значении $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

28. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{5x - 3}$;

2) $\sqrt{1 - 4x}$;

3) $\frac{5}{\sqrt{2 - 3x}}$;

4) $\sqrt{x - 3} + \frac{2}{x - 7}$;

5) $\sqrt{7x - 9} - \frac{3}{x^2 - 16}$;

6) $\frac{3}{\sqrt{4x + 20}} + \frac{1}{|x| - 3}$?

1) Выражение $\sqrt{5x - 3}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
$5x - 3 \ge 0$
$5x \ge 3$
$x \ge \frac{3}{5}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in [\frac{3}{5}; +\infty)$.
Ответ: $x \ge \frac{3}{5}$.

2) Выражение $\sqrt{1 - 4x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$1 - 4x \ge 0$
$-4x \ge -1$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-1}{-4}$
$x \le \frac{1}{4}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in (-\infty; \frac{1}{4}]$.
Ответ: $x \le \frac{1}{4}$.

3) Выражение $\frac{5}{\sqrt{2 - 3x}}$ имеет смысл, когда выполняются два условия: подкоренное выражение неотрицательно, и знаменатель не равен нулю. Поскольку корень находится в знаменателе, подкоренное выражение должно быть строго больше нуля.
$2 - 3x > 0$
$-3x > -2$
$x < \frac{-2}{-3}$
$x < \frac{2}{3}$
Таким образом, выражение имеет смысл при $x \in (-\infty; \frac{2}{3})$.
Ответ: $x < \frac{2}{3}$.

4) Выражение $\sqrt{x - 3} + \frac{2}{x - 7}$ состоит из двух частей, и каждая из них должна иметь смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{x - 3}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
2. Для слагаемого $\frac{2}{x - 7}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7$
Объединяем оба условия: $x$ должен быть больше или равен 3, но не равен 7.
Это можно записать в виде объединения интервалов: $x \in [3; 7) \cup (7; +\infty)$.
Ответ: $x \in [3; 7) \cup (7; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{7x - 9} - \frac{3}{x^2 - 16}$ имеет смысл, когда оба его члена имеют смысл.
1. Для $\sqrt{7x - 9}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$7x - 9 \ge 0 \implies 7x \ge 9 \implies x \ge \frac{9}{7}$
2. Для $\frac{3}{x^2 - 16}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 16 \neq 0 \implies x^2 \neq 16 \implies x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Совмещаем условия: $x \ge \frac{9}{7}$ (это примерно $1.28$), $x \neq 4$ и $x \neq -4$. Условие $x \ge \frac{9}{7}$ автоматически исключает $x = -4$.
Остаются условия $x \ge \frac{9}{7}$ и $x \neq 4$.
Это соответствует объединению интервалов: $x \in [\frac{9}{7}; 4) \cup (4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{9}{7}; 4) \cup (4; +\infty)$.

6) Выражение $\frac{3}{\sqrt{4x + 20}} + \frac{1}{|x| - 3}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\frac{3}{\sqrt{4x + 20}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$4x + 20 > 0 \implies 4x > -20 \implies x > -5$
2. Для слагаемого $\frac{1}{|x| - 3}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$|x| - 3 \neq 0 \implies |x| \neq 3 \implies x \neq 3$ и $x \neq -3$.
Объединяем все условия: $x > -5$, $x \neq -3$, и $x \neq 3$.
Это соответствует объединению интервалов: $x \in (-5; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

29. При каких значениях $a$ можно разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $-2x^2 - 3x + a$;

2) $ax^2 - x + 2?$

Квадратный трёхчлен можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее ему квадратное уравнение имеет действительные корни. Это выполняется, если дискриминант трёхчлена неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

1) $-2x^2 - 3x + a$

Для данного квадратного трёхчлена коэффициенты равны: $A = -2$, $B = -3$, $C = a$.

Найдём его дискриминант $D$ по формуле $D = B^2 - 4AC$:

$D = (-3)^2 - 4(-2)a = 9 + 8a$

Чтобы трёхчлен можно было разложить на линейные множители, должно выполняться условие $D \ge 0$. Решим соответствующее неравенство:

$9 + 8a \ge 0$

$8a \ge -9$

$a \ge - \frac{9}{8}$

Ответ: $a \ge - \frac{9}{8}$.

2) $ax^2 - x + 2$

Данное выражение является квадратным трёхчленом при условии, что старший коэффициент не равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Коэффициенты этого трёхчлена: $A = a$, $B = -1$, $C = 2$.

Найдём его дискриминант $D$:

$D = B^2 - 4AC = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 1 - 8a$

Условие разложимости на линейные множители: $D \ge 0$. Решим неравенство:

$1 - 8a \ge 0$

$1 \ge 8a$

$a \le \frac{1}{8}$

Объединим это условие с требованием $a \neq 0$, чтобы выражение оставалось квадратным трёхчленом. Таким образом, $a$ может принимать любые значения, меньшие или равные $\frac{1}{8}$, кроме нуля.

Ответ: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{1}{8}]$.

30. В лесу растут дубы, берёзы и клёны, количества которых относятся как $3 : 5 : 4$ соответственно. Каким может быть наибольшее количество дубов, если всего деревьев не больше $1000$?

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Согласно условию, количество дубов, берёз и клёнов относится как $3:5:4$. Тогда количество дубов можно представить как $3x$, количество берёз — как $5x$, а количество клёнов — как $4x$. Поскольку количество деревьев может быть только целым положительным числом, $x$ также должен быть целым положительным числом.

Найдём общее количество деревьев в лесу, сложив количество деревьев каждого вида:
$3x + 5x + 4x = 12x$

По условию задачи, всего деревьев не больше 1000. Это можно записать в виде неравенства:
$12x \le 1000$

Решим это неравенство относительно $x$:
$x \le \frac{1000}{12}$
$x \le \frac{250}{3}$
$x \le 83\frac{1}{3}$

Так как $x$ должен быть наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому неравенству, то $x = 83$.

Теперь мы можем найти наибольшее возможное количество дубов, подставив максимальное значение $x$ в выражение для количества дубов ($3x$):
$3 \cdot 83 = 249$

При этом общее количество деревьев будет равно $12 \cdot 83 = 996$, что не превышает 1000.

Ответ: 249.

31. Стороны треугольника равны 9 см, 12 см и $y$ см, где $y$ — натуральное число. Какое наибольшее значение может принимать $y$?

Для того чтобы три отрезка могли образовать треугольник, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

Пусть стороны треугольника равны $a = 9$ см, $b = 12$ см и $y$ см. Запишем три неравенства:

• $a + b > y$
• $a + y > b$
• $b + y > a$

Подставим известные значения и решим каждое неравенство относительно $y$:

1) $9 + 12 > y$
$21 > y$

2) $9 + y > 12$
$y > 12 - 9$
$y > 3$

3) $12 + y > 9$
$y > 9 - 12$
$y > -3$
Так как по условию $y$ — натуральное число (то есть $y \ge 1$), это неравенство всегда выполняется и не накладывает дополнительных ограничений.

Таким образом, мы имеем два ограничения на $y$: $y < 21$ и $y > 3$. Объединив их, получаем двойное неравенство:$3 < y < 21$

По условию, $y$ является натуральным числом. Нас просят найти наибольшее возможное значение $y$. Наибольшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству $y < 21$, это 20.

Ответ: 20

32. Сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел не превышает 98. Найдите наибольшее значение, которое может принимать второе число из этой тройки чисел.

Пусть второе из трёх последовательных чётных натуральных чисел равно $x$. Поскольку числа являются последовательными чётными, они отличаются друг от друга на 2. Тогда первое число будет $x-2$, а третье число — $x+2$.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел не превышает 98. Составим и решим неравенство:

$(x - 2) + x + (x + 2) \le 98$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$3x \le 98$

Теперь найдём $x$:

$x \le \frac{98}{3}$

$x \le 32\frac{2}{3}$

Так как $x$ — это чётное натуральное число, нам нужно найти наибольшее чётное целое число, которое меньше или равно $32\frac{2}{3}$. Таким числом является 32.

Проверим: если второе число равно 32, то тройка чисел — это 30, 32, 34. Их сумма равна $30 + 32 + 34 = 96$. Это значение не превышает 98, что соответствует условию. Если бы мы взяли следующее чётное число, 34, то тройка была бы 32, 34, 36, а их сумма $32 + 34 + 36 = 102$, что больше 98.

Следовательно, наибольшее значение, которое может принимать второе число из этой тройки, равно 32.

Ответ: 32

33. Решите уравнение:

1) $|x - 4| + x = 3$;

2) $|4x - 3| - x = -1$;

3) $|x + 2| - x = 3$;

4) $|x - 5| + x = 7$.

1) $|x - 4| + x = 3$

Для решения уравнения с модулем, рассмотрим два случая, раскрывая модуль в зависимости от знака подмодульного выражения $x - 4$.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

При этом условии $|x - 4| = x - 4$. Подставим это в уравнение:

$(x - 4) + x = 3$

$2x - 4 = 3$

$2x = 7$

$x = 3.5$

Полученное значение $x = 3.5$ не удовлетворяет условию $x \ge 4$, поэтому оно не является корнем уравнения.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

При этом условии $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Подставим это в уравнение:

$(4 - x) + x = 3$

$4 = 3$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что при $x < 4$ уравнение не имеет решений.

Так как ни один из случаев не дал решений, исходное уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

2) $|4x - 3| - x = -1$

Решим уравнение, рассмотрев два случая, в зависимости от знака выражения под модулем. Найдем точку, в которой выражение под модулем равно нулю: $4x - 3 = 0$, откуда $x = \frac{3}{4}$.

Случай 1: $x \ge \frac{3}{4}$.

В этом случае $|4x - 3| = 4x - 3$. Уравнение принимает вид:

$(4x - 3) - x = -1$

$3x - 3 = -1$

$3x = 2$

$x = \frac{2}{3}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x \ge \frac{3}{4}$. Сравним $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю $12$: $\frac{8}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Так как $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, то $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$. Условие не выполняется, значит, в этом случае решений нет.

Случай 2: $x < \frac{3}{4}$.

В этом случае $|4x - 3| = -(4x - 3) = 3 - 4x$. Уравнение принимает вид:

$(3 - 4x) - x = -1$

$3 - 5x = -1$

$-5x = -4$

$x = \frac{4}{5}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x < \frac{3}{4}$. Сравним $\frac{4}{5}$ и $\frac{3}{4}$. Приведем к общему знаменателю $20$: $\frac{16}{20}$ и $\frac{15}{20}$. Так как $\frac{16}{20} > \frac{15}{20}$, то $\frac{4}{5} > \frac{3}{4}$. Условие не выполняется, значит, и в этом случае решений нет.

Поскольку ни в одном из случаев мы не нашли решений, уравнение не имеет корней.

Ответ: нет решений.

3) $|x + 2| - x = 3$

Решим уравнение, раскрыв модуль. Для этого рассмотрим два случая в зависимости от знака выражения $x + 2$.

Случай 1: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.

В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Уравнение принимает вид:

$(x + 2) - x = 3$

$2 = 3$

Получено неверное числовое равенство, следовательно, на промежутке $x \ge -2$ решений нет.

Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение принимает вид:

$(-x - 2) - x = 3$

$-2x - 2 = 3$

$-2x = 5$

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x < -2$.

Так как $-2.5 < -2$, условие выполняется. Значит, $x = -2.5$ является решением уравнения.

Ответ: -2.5.

4) $|x - 5| + x = 7$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x - 5$.

Случай 1: $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$.

В этом случае $|x - 5| = x - 5$. Уравнение принимает вид:

$(x - 5) + x = 7$

$2x - 5 = 7$

$2x = 12$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень условию $x \ge 5$.

Так как $6 \ge 5$, условие выполняется. Значит, $x = 6$ является решением уравнения.

Случай 2: $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$.

В этом случае $|x - 5| = -(x - 5) = 5 - x$. Уравнение принимает вид:

$(5 - x) + x = 7$

$5 = 7$

Получено неверное числовое равенство. Это означает, что при $x < 5$ уравнение не имеет решений.

Единственным решением уравнения является $x = 6$.

Ответ: 6.

34. Постройте график функции:

1) $y = |x - 5|;$

2) $y = |x + 4| - 3;$

3) $y = |x + 5| - 2x.$

Для построения графика функции $y = |x - 5|$ необходимо раскрыть модуль. По определению абсолютной величины, $|a| = a$ при $a \ge 0$ и $|a| = -a$ при $a < 0$.

Рассмотрим два случая для подмодульного выражения $x - 5$:

1. Если $x - 5 \ge 0$, то есть $x \ge 5$, то $|x - 5| = x - 5$. Функция принимает вид $y = x - 5$. Это линейная функция, графиком которой является прямая.

2. Если $x - 5 < 0$, то есть $x < 5$, то $|x - 5| = -(x - 5) = -x + 5$. Функция принимает вид $y = -x + 5$. Это также линейная функция.

Таким образом, график функции $y = |x - 5|$ состоит из двух лучей, выходящих из одной точки — вершины. Координаты вершины можно найти, приравняв подмодульное выражение к нулю: $x - 5 = 0 \implies x = 5$. При $x = 5$, $y = |5 - 5| = 0$. Вершина находится в точке $(5, 0)$.

Для построения графика найдем по одной дополнительной точке для каждого луча:

• Для луча $y = x - 5$ при $x \ge 5$: возьмем $x = 6$, тогда $y = 6 - 5 = 1$. Точка $(6, 1)$.
• Для луча $y = -x + 5$ при $x < 5$: возьмем $x = 4$, тогда $y = -4 + 5 = 1$. Точка $(4, 1)$.

Соединив вершину $(5, 0)$ с найденными точками, получим график функции. Этот график также можно получить сдвигом графика $y = |x|$ на 5 единиц вправо по оси Ох.

Ответ: График функции $y = |x - 5|$ — это V-образная кривая ("галочка") с вершиной в точке $(5, 0)$, ветви которой направлены вверх. Для $x \ge 5$ график совпадает с прямой $y = x - 5$, а для $x < 5$ — с прямой $y = -x + 5$.

График функции $y = |x + 4| - 3$ можно построить с помощью геометрических преобразований графика базовой функции $y = |x|$.

1. Начнем с графика функции $y = |x|$. Это V-образная кривая с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

2. Построим график функции $y = |x + 4|$. Это преобразование вида $f(x) \to f(x+a)$ при $a=4$, что соответствует сдвигу исходного графика $y = |x|$ на 4 единицы влево по оси Ох. Вершина графика переместится в точку $(-4, 0)$.

3. Построим график функции $y = |x + 4| - 3$. Это преобразование вида $f(x) \to f(x)-b$ при $b=3$, что соответствует сдвигу графика $y = |x+4|$ на 3 единицы вниз по оси Оу. Вершина переместится из точки $(-4, 0)$ в точку $(-4, -3)$.

Для более точного построения найдем точки пересечения графика с осями координат:

• С осью Оу ($x=0$): $y = |0 + 4| - 3 = 4 - 3 = 1$. Точка пересечения — $(0, 1)$.
• С осью Ох ($y=0$): $|x + 4| - 3 = 0 \implies |x + 4| = 3$. Это уравнение эквивалентно двум: $x+4=3$ или $x+4=-3$. Отсюда $x = -1$ и $x = -7$. Точки пересечения — $(-1, 0)$ и $(-7, 0)$.

Ответ: График функции $y = |x + 4| - 3$ — это V-образная кривая с вершиной в точке $(-4, -3)$, ветви которой направлены вверх. График пересекает ось Оу в точке $(0, 1)$ и ось Ох в точках $(-1, 0)$ и $(-7, 0)$.

Для построения графика функции $y = |x + 5| - 2x$ раскроем модуль, рассмотрев два случая. Точка, в которой подмодульное выражение $x+5$ меняет знак, это $x=-5$.

1. При $x \ge -5$, подмодульное выражение неотрицательно, поэтому $|x + 5| = x + 5$. Функция принимает вид:

$y = (x + 5) - 2x = -x + 5$.

Графиком на этом промежутке является луч прямой $y = -x + 5$. Найдем координаты его начальной точки: при $x = -5$, $y = -(-5) + 5 = 10$. Точка излома — $(-5, 10)$. Для построения луча возьмем еще одну точку, например, при $x=0$, $y = -0+5=5$. Точка $(0, 5)$.

2. При $x < -5$, подмодульное выражение отрицательно, поэтому $|x + 5| = -(x + 5) = -x - 5$. Функция принимает вид:

$y = -(x + 5) - 2x = -x - 5 - 2x = -3x - 5$.

Графиком на этом промежутке является луч прямой $y = -3x - 5$. Он подходит к точке излома $(-5, 10)$. Для его построения возьмем любую точку левее $x=-5$, например, $x=-6$. Тогда $y = -3(-6) - 5 = 18 - 5 = 13$. Точка $(-6, 13)$.

Итак, график состоит из двух лучей, соединяющихся в точке $(-5, 10)$.

Ответ: График функции $y = |x + 5| - 2x$ — это ломаная линия, состоящая из двух лучей с точкой излома в $(-5, 10)$. При $x \ge -5$ график совпадает с прямой $y = -x + 5$. При $x < -5$ график совпадает с прямой $y = -3x - 5$.