Страница 85 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = \frac{2}{5}x - 3;$

2) $g(x) = \frac{3x - 1}{x + 2};$

3) $\varphi(x) = x^2 - 3x + 2;$

4) $g(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 1}.$

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, не выполняя построения, нужно найти значения, при которых одна из координат равна нулю.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью $Oy$), абсцисса $x$ должна быть равна нулю. Мы подставляем $x = 0$ в уравнение функции и вычисляем соответствующее значение $y$. Точка будет иметь координаты $(0; y)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$), ордината $y$ должна быть равна нулю. Мы приравниваем функцию к нулю ($y=f(x)=0$) и решаем полученное уравнение относительно $x$. Точки будут иметь координаты $(x; 0)$.

1) $f(x) = \frac{2}{5}x - 3$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = f(0) = \frac{2}{5} \cdot 0 - 3 = -3$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$f(x) = 0 \implies \frac{2}{5}x - 3 = 0$

$\frac{2}{5}x = 3$

$x = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$.

Точка пересечения с осью Ox: $(7,5; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -3)$; с осью Ox: $(7,5; 0)$.

2) $g(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = g(0) = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} = -0,5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -0,5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$g(x) = 0 \implies \frac{3x - 1}{x + 2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.

Проверим знаменатель при $x = \frac{1}{3}$: $x + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \neq 0$. Условие выполняется.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -0,5)$; с осью Ox: $(\frac{1}{3}; 0)$.

3) $\varphi(x) = x^2 - 3x + 2$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = \varphi(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$\varphi(x) = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Подбором находим корни:

$x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $(1; 0)$ и $(2; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; 2)$; с осью Ox: $(1; 0)$ и $(2; 0)$.

4) $g(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 1}$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = g(0) = \frac{0^2 - 5}{0^2 + 1} = \frac{-5}{1} = -5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$g(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 5}{x^2 + 1} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$), поэтому он не может быть равен нулю.

Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{5}; 0)$ и $(\sqrt{5}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -5)$; с осью Ox: $(-\sqrt{5}; 0)$ и $(\sqrt{5}; 0)$.

71. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ \frac{x}{2} - 1, & \text{если } -2 \le x < 4, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 4; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 1 - x, & \text{если } x < -3, \\ x - 1, & \text{если } -3 \le x < 2, \\ -1, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

1)

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x < -2 \\ \frac{x}{2} - 1, & \text{если } -2 \le x < 4 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$ построим каждую ее часть на заданном промежутке.

Первая часть: $y = \frac{4}{x}$ при $x < -2$.
Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Составим таблицу значений:

На границе промежутка, в точке $x = -2$, имеем $y = \frac{4}{-2} = -2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, -2)$ не принадлежит графику (на чертеже ее отмечают пустым кружком).

Вторая часть: $y = \frac{x}{2} - 1$ при $-2 \le x < 4$.
Это отрезок прямой. Для его построения найдем координаты концов отрезка.

• При $x = -2$, $y = \frac{-2}{2} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(-2, -2)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
• При $x = 4$, $y = \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(4, 1)$ не принадлежит графику (пустой кружок).

Соединяем точки $(-2, -2)$ и $(4, 1)$ отрезком прямой.

Третья часть: $y = \frac{4}{x}$ при $x \ge 4$.
Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Составим таблицу значений:

На границе промежутка, в точке $x = 4$, имеем $y = \frac{4}{4} = 1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 4$), точка $(4, 1)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).

Совместим все три части на одной координатной плоскости. Заметим, что в точках "стыковки" ($x=-2$ и $x=4$) значения функции совпадают, поэтому разрывов в графике нет.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: ветви гиперболы $y=4/x$ для $x < -2$, отрезка прямой, соединяющего точки $(-2, -2)$ и $(4, 1)$, и другой ветви гиперболы $y=4/x$ для $x \ge 4$.

2)

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 1 - x, & \text{если } x < -3 \\ x - 1, & \text{если } -3 \le x < 2 \\ -1, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$ построим каждую ее часть на заданном промежутке.

Первая часть: $y = 1 - x$ при $x < -3$.
Это луч прямой. Для его построения найдем координаты двух точек.

• На границе промежутка, в точке $x = -3$, имеем $y = 1 - (-3) = 4$. Так как неравенство строгое ($x < -3$), точка $(-3, 4)$ не принадлежит графику (пустой кружок).
• Возьмем еще одну точку, например, $x = -5$. Тогда $y = 1 - (-5) = 6$.

Проводим луч через точку $(-5, 6)$, заканчивающийся в точке $(-3, 4)$.

Вторая часть: $y = x - 1$ при $-3 \le x < 2$.
Это отрезок прямой. Найдем координаты его концов.

• При $x = -3$, $y = -3 - 1 = -4$. Точка $(-3, -4)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
• При $x = 2$, $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$ не принадлежит графику (пустой кружок).

Соединяем точки $(-3, -4)$ и $(2, 1)$ отрезком прямой.

Третья часть: $y = -1$ при $x \ge 2$.
Это горизонтальный луч.

• На границе промежутка, в точке $x = 2$, имеем $y = -1$. Точка $(2, -1)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
• Для всех $x > 2$ значение функции также равно -1.

Проводим горизонтальный луч из точки $(2, -1)$ вправо.

Совместим все три части на одной координатной плоскости. В точках $x=-3$ и $x=2$ функция терпит разрыв (скачок).

Ответ: График функции состоит из трех частей. При $x < -3$ это луч прямой, заканчивающийся в точке $(-3, 4)$. При $-3 \le x < 2$ это отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, -4)$ и $(2, 1)$. При $x \ge 2$ это горизонтальный луч, выходящий из точки $(2, -1)$ вправо. График имеет разрывы в точках $x = -3$ и $x = 2$.

72. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$;

3) $f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 3x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$

Область определения:
Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = -3$.
$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$f(x) = \frac{x^2 - 3^2}{x + 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$
При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x+3)$:
$y = x - 3$
Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$.
Найдем координаты этой точки:
$y = -3 - 3 = -6$
Координаты выколотой точки: $(-3; -6)$.
Для построения прямой $y = x - 3$ найдем две точки, через которые она проходит:
- при $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x=3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.
График представляет собой прямую линию, проходящую через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$, с выколотой точкой в $(-3; -6)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. График функции – прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3; -6)$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$

Область определения:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x - 1 \neq 0$
$x \neq 1$
Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение. Числитель является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x - 1}$
При $x \neq 1$ сокращаем дробь на $(x-1)$:
$y = x - 1$
Графиком функции является прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой при $x = 1$.
Найдем координаты выколотой точки:
$y = 1 - 1 = 0$
Координаты выколотой точки: $(1; 0)$.
Для построения прямой $y = x - 1$ найдем две точки:
- при $x=0$, $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
- при $x=2$, $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2; 1)$.
График представляет собой прямую линию, проходящую через точки $(0; -1)$ и $(2; 1)$, с выколотой точкой в $(1; 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции – прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(1; 0)$.

3) $f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 3x}$

Область определения:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x^2 + 3x \neq 0$
$x(x + 3) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:
$f(x) = \frac{2(x + 3)}{x(x + 3)}$
При $x \neq -3$ и $x \neq 0$ сокращаем дробь на $(x+3)$:
$y = \frac{2}{x}$
Графиком функции является гипербола $y = \frac{2}{x}$. Эта функция не определена в точке $x = 0$ (вертикальная асимптота). Кроме того, исходная функция не определена в точке $x = -3$, поэтому на графике гиперболы будет выколотая точка.
Найдем координаты выколотой точки при $x = -3$:
$y = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
Координаты выколотой точки: $(-3; -2/3)$.
График — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox). На графике выколота точка $(-3; -2/3)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(-3; -2/3)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$

Область определения:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x^2 - 4 \neq 0$
$(x - 2)(x + 2) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Построение графика:
При всех $x$ из области определения числитель и знаменатель равны и не равны нулю, поэтому дробь можно сократить:
$f(x) = 1$
Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$ с выколотыми точками при $x = 2$ и $x = -2$.
Координаты выколотых точек:
- при $x = 2$, $y = 1$. Точка $(2; 1)$.
- при $x = -2$, $y = 1$. Точка $(-2; 1)$.
График представляет собой горизонтальную прямую $y = 1$ с двумя выколотыми точками: $(-2; 1)$ и $(2; 1)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. График функции – прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-2; 1)$ и $(2; 1)$.