Номер 71, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

71. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x < -2, \\ \frac{x}{2} - 1, & \text{если } -2 \le x < 4, \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 4; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 1 - x, & \text{если } x < -3, \\ x - 1, & \text{если } -3 \le x < 2, \\ -1, & \text{если } x \ge 2. \end{cases}$

1)

Для построения графика кусочно-заданной функции $f(x) = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x < -2 \\ \frac{x}{2} - 1, & \text{если } -2 \le x < 4 \\ \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$ построим каждую ее часть на заданном промежутке.

Первая часть: $y = \frac{4}{x}$ при $x < -2$.
Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Составим таблицу значений:

На границе промежутка, в точке $x = -2$, имеем $y = \frac{4}{-2} = -2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, -2)$ не принадлежит графику (на чертеже ее отмечают пустым кружком).

Вторая часть: $y = \frac{x}{2} - 1$ при $-2 \le x < 4$.
Это отрезок прямой. Для его построения найдем координаты концов отрезка.

• При $x = -2$, $y = \frac{-2}{2} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(-2, -2)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
• При $x = 4$, $y = \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$. Точка $(4, 1)$ не принадлежит графику (пустой кружок).

Соединяем точки $(-2, -2)$ и $(4, 1)$ отрезком прямой.

Третья часть: $y = \frac{4}{x}$ при $x \ge 4$.
Это ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Составим таблицу значений:

На границе промежутка, в точке $x = 4$, имеем $y = \frac{4}{4} = 1$. Так как неравенство нестрогое ($x \ge 4$), точка $(4, 1)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).

Совместим все три части на одной координатной плоскости. Заметим, что в точках "стыковки" ($x=-2$ и $x=4$) значения функции совпадают, поэтому разрывов в графике нет.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: ветви гиперболы $y=4/x$ для $x < -2$, отрезка прямой, соединяющего точки $(-2, -2)$ и $(4, 1)$, и другой ветви гиперболы $y=4/x$ для $x \ge 4$.

2)

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 1 - x, & \text{если } x < -3 \\ x - 1, & \text{если } -3 \le x < 2 \\ -1, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$ построим каждую ее часть на заданном промежутке.

Первая часть: $y = 1 - x$ при $x < -3$.
Это луч прямой. Для его построения найдем координаты двух точек.

• На границе промежутка, в точке $x = -3$, имеем $y = 1 - (-3) = 4$. Так как неравенство строгое ($x < -3$), точка $(-3, 4)$ не принадлежит графику (пустой кружок).
• Возьмем еще одну точку, например, $x = -5$. Тогда $y = 1 - (-5) = 6$.

Проводим луч через точку $(-5, 6)$, заканчивающийся в точке $(-3, 4)$.

Вторая часть: $y = x - 1$ при $-3 \le x < 2$.
Это отрезок прямой. Найдем координаты его концов.

• При $x = -3$, $y = -3 - 1 = -4$. Точка $(-3, -4)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
• При $x = 2$, $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2, 1)$ не принадлежит графику (пустой кружок).

Соединяем точки $(-3, -4)$ и $(2, 1)$ отрезком прямой.

Третья часть: $y = -1$ при $x \ge 2$.
Это горизонтальный луч.

• На границе промежутка, в точке $x = 2$, имеем $y = -1$. Точка $(2, -1)$ принадлежит графику (закрашенный кружок).
• Для всех $x > 2$ значение функции также равно -1.

Проводим горизонтальный луч из точки $(2, -1)$ вправо.

Совместим все три части на одной координатной плоскости. В точках $x=-3$ и $x=2$ функция терпит разрыв (скачок).

Ответ: График функции состоит из трех частей. При $x < -3$ это луч прямой, заканчивающийся в точке $(-3, 4)$. При $-3 \le x < 2$ это отрезок прямой, соединяющий точки $(-3, -4)$ и $(2, 1)$. При $x \ge 2$ это горизонтальный луч, выходящий из точки $(2, -1)$ вправо. График имеет разрывы в точках $x = -3$ и $x = 2$.