Номер 69, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

69. Постройте график функции:

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x;$

2) $f(x) = -4x;$

3) $f(x) = -3;$

4) $f(x) = \frac{12}{x}.$

1) $f(x) = 3 - \frac{1}{2}x$

Данная функция является линейной, её можно представить в виде $y = kx + b$, где угловой коэффициент $k = -\frac{1}{2}$ и свободный член $b = 3$. Графиком линейной функции является прямая линия. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих этой прямой.

1. Найдем точку пересечения с осью ординат (осью Oy). Для этого подставим $x = 0$ в уравнение функции:
$f(0) = 3 - \frac{1}{2} \cdot 0 = 3$.
Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 3)$.

2. Найдем вторую точку, взяв произвольное значение $x$, например, $x = 2$:
$f(2) = 3 - \frac{1}{2} \cdot 2 = 3 - 1 = 2$.
Вторая точка имеет координаты $(2, 2)$.

Для построения графика необходимо отметить на координатной плоскости точки $(0, 3)$ и $(2, 2)$ и провести через них прямую линию.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через точки $(0, 3)$ и $(2, 2)$.

2) $f(x) = -4x$

Это линейная функция вида $y = kx$, которая является частным случаем и называется прямой пропорциональностью. Её график — это прямая линия, которая всегда проходит через начало координат, точку $(0, 0)$. Для построения прямой нам нужна еще одна точка.

Возьмем произвольное ненулевое значение $x$, например, $x = 1$:
$f(1) = -4 \cdot 1 = -4$.
Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1, -4)$.

График строим, проводя прямую линию через начало координат $(0, 0)$ и точку $(1, -4)$. Так как угловой коэффициент $k = -4$ отрицательный, функция является убывающей, и ее график расположен во второй и четвертой координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции является прямая линия, проходящая через начало координат и точку $(1, -4)$.

3) $f(x) = -3$

Это постоянная функция (константа) вида $y = c$, где $c = -3$. Это означает, что для любого значения аргумента $x$ значение функции всегда будет равно -3.

Графиком такой функции является прямая линия, параллельная оси абсцисс (оси Ox). Эта прямая проходит через точку $(0, -3)$ на оси ординат (оси Oy).

Ответ: Графиком функции является прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку $(0, -3)$.

4) $f(x) = \frac{12}{x}$

Данная функция является обратной пропорциональностью вида $y = \frac{k}{x}$, где коэффициент $k = 12$. Графиком такой функции является гипербола. Область определения функции — все действительные числа, кроме $x=0$.

Поскольку коэффициент $k = 12 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Оси координат (Ox и Oy) являются асимптотами графика, то есть линиями, к которым ветви гиперболы бесконечно приближаются, но никогда их не пересекают. Для построения графика составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви.

Таблица значений для первой ветви (I четверть, $x > 0$):

• При $x = 2, y = \frac{12}{2} = 6$. Точка $(2, 6)$.
• При $x = 3, y = \frac{12}{3} = 4$. Точка $(3, 4)$.
• При $x = 4, y = \frac{12}{4} = 3$. Точка $(4, 3)$.
• При $x = 6, y = \frac{12}{6} = 2$. Точка $(6, 2)$.

Вторая ветвь (III четверть, $x < 0$) симметрична первой относительно начала координат:

• При $x = -2, y = \frac{12}{-2} = -6$. Точка $(-2, -6)$.
• При $x = -3, y = \frac{12}{-3} = -4$. Точка $(-3, -4)$.
• При $x = -4, y = \frac{12}{-4} = -3$. Точка $(-4, -3)$.
• При $x = -6, y = \frac{12}{-6} = -2$. Точка $(-6, -2)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными линиями в каждой четверти, мы получим график гиперболы.

Ответ: Графиком функции является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях, а асимптотами служат оси координат.