Номер 73, страница 86 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

73. На рисунке 10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:

1) нули функции;

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции.

Рис. 10

а

б

в

Для графика а:

1) нули функции
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y = f(x)$ равно нулю. Графически это точки пересечения графика с осью абсцисс (осью Ox). На данном графике пересечения происходят в точках $x = -3$, $x = 0$ и $x = 4$.
Ответ: $x = -3, x = 0, x = 4$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные
Значения функции положительны ($f(x) > 0$) на тех промежутках, где её график расположен выше оси абсцисс. Для графика 'а' это происходит на интервалах от -3 до 0 и при x больше 4.
Ответ: $x \in (-3; 0) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции
Функция возрастает, когда её график идёт вверх при движении слева направо. Это происходит на промежутках от локального минимума при $x = -2$ до локального максимума при $x = 2$, а также от локального минимума при $x = 5$ и далее в бесконечность.
Функция убывает, когда её график идёт вниз. Это происходит до локального минимума при $x = -2$ и от локального максимума при $x = 2$ до локального минимума при $x = 5$.
Ответ: промежутки возрастания: $[-2; 2]$ и $[5; +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty; -2]$ и $[2; 5]$.

Для графика б:

1) нули функции
График пересекает ось Ox в точках, где $x = -1$ и $x = 3$.
Ответ: $x = -1, x = 3$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные
График функции (парабола) находится выше оси Ox между её нулями.
Ответ: $x \in (-1; 3)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции
График представляет собой параболу с ветвями вниз, вершина которой находится в точке $x = 1$. До вершины функция возрастает, после вершины — убывает.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty; 1]$; промежуток убывания: $[1; +\infty)$.

Для графика в:

1) нули функции
График пересекает ось Ox только в одной точке $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

2) при каких значениях аргумента значения функции положительные
График функции находится выше оси Ox на промежутке слева от точки пересечения $x = 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2)$.

3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции
Функция имеет вертикальную асимптоту при $x=3$. Слева от асимптоты функция всё время убывает. Справа от асимптоты функция убывает до точки локального минимума при $x=5$, а затем возрастает.
Ответ: промежуток возрастания: $[5; +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty; 3)$ и $(3; 5]$.