Номер 70, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

70. Найдите, не выполняя построения, точки пересечения с осями координат графика функции:

1) $f(x) = \frac{2}{5}x - 3;$

2) $g(x) = \frac{3x - 1}{x + 2};$

3) $\varphi(x) = x^2 - 3x + 2;$

4) $g(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 1}.$

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, не выполняя построения, нужно найти значения, при которых одна из координат равна нулю.

Для нахождения точки пересечения с осью ординат (осью $Oy$), абсцисса $x$ должна быть равна нулю. Мы подставляем $x = 0$ в уравнение функции и вычисляем соответствующее значение $y$. Точка будет иметь координаты $(0; y)$.

Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс (осью $Ox$), ордината $y$ должна быть равна нулю. Мы приравниваем функцию к нулю ($y=f(x)=0$) и решаем полученное уравнение относительно $x$. Точки будут иметь координаты $(x; 0)$.

1) $f(x) = \frac{2}{5}x - 3$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = f(0) = \frac{2}{5} \cdot 0 - 3 = -3$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -3)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$f(x) = 0 \implies \frac{2}{5}x - 3 = 0$

$\frac{2}{5}x = 3$

$x = 3 \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{2} = 7,5$.

Точка пересечения с осью Ox: $(7,5; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -3)$; с осью Ox: $(7,5; 0)$.

2) $g(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = g(0) = \frac{3 \cdot 0 - 1}{0 + 2} = \frac{-1}{2} = -0,5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -0,5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$g(x) = 0 \implies \frac{3x - 1}{x + 2} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$3x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{3}$.

Проверим знаменатель при $x = \frac{1}{3}$: $x + 2 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{7}{3} \neq 0$. Условие выполняется.

Точка пересечения с осью Ox: $(\frac{1}{3}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -0,5)$; с осью Ox: $(\frac{1}{3}; 0)$.

3) $\varphi(x) = x^2 - 3x + 2$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = \varphi(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 + 2 = 2$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; 2)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$\varphi(x) = 0 \implies x^2 - 3x + 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $3$, а их произведение равно $2$. Подбором находим корни:

$x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.

Точки пересечения с осью Ox: $(1; 0)$ и $(2; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; 2)$; с осью Ox: $(1; 0)$ и $(2; 0)$.

4) $g(x) = \frac{x^2 - 5}{x^2 + 1}$

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = g(0) = \frac{0^2 - 5}{0^2 + 1} = \frac{-5}{1} = -5$.

Точка пересечения с осью Oy: $(0; -5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$g(x) = 0 \implies \frac{x^2 - 5}{x^2 + 1} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$x^2 - 5 = 0 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm\sqrt{5}$.

Знаменатель $x^2 + 1$ всегда положителен (так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 1 \ge 1$), поэтому он не может быть равен нулю.

Точки пересечения с осью Ox: $(-\sqrt{5}; 0)$ и $(\sqrt{5}; 0)$.

Ответ: с осью Oy: $(0; -5)$; с осью Ox: $(-\sqrt{5}; 0)$ и $(\sqrt{5}; 0)$.