Номер 67, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

67. Найдите область определения функции:

1) $f(x) = 3x + 5;$

2) $f(x) = \frac{7}{x + 8};$

3) $f(x) = \frac{x - 2}{3};$

4) $f(x) = \frac{3x + 6}{2x - 1};$

5) $f(x) = \sqrt{5 - x};$

6) $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x + 2}};$

7) $f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 6};$

8) $f(x) = \frac{3}{x^2 + 9};$

9) $f(x) = \frac{5x + 4}{4x^2 - x};$

10) $f(x) = \frac{x}{|x| - 2};$

11) $f(x) = \frac{x - 2}{|x| + 4};$

12) $f(x) = \frac{5}{x^2 - |x|};$

13) $f(x) = \sqrt{x - 3} - \sqrt{6 - x};$

14) $f(x) = \sqrt{x + 2} + \frac{x - 5}{2x + 1};$

15) $f(x) = \sqrt{7 - x} - \sqrt{x - 7};$

16) $f(x) = \sqrt{x - 5} - \frac{3}{\sqrt{4 - x}};$

17) $f(x) = \sqrt{x + 3} + \frac{x + 2}{x^2 - 9};$

18) $f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 4}} - \frac{3x - 1}{x^2 - x - 6};$

1) Функция $f(x) = 3x + 5$ является линейной. Линейные функции определены для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

2) Функция $f(x) = \frac{7}{x+8}$ является дробно-рациональной. Область определения такой функции — все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
$x+8 \neq 0$
$x \neq -8$
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме $-8$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; -8) \cup (-8; +\infty)$.

3) Функция $f(x) = \frac{x-2}{3}$ является линейной ($f(x) = \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$). Она определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

4) Функция $f(x) = \frac{3x+6}{2x-1}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не может быть равен нулю.
$2x-1 \neq 0$
$2x \neq 1$
$x \neq \frac{1}{2}$
Область определения — все действительные числа, кроме $\frac{1}{2}$.
Ответ: $D(f) = (-\infty; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; +\infty)$.

5) Функция $f(x) = \sqrt{5-x}$ содержит квадратный корень. Выражение под корнем (подкоренное выражение) должно быть неотрицательным.
$5-x \ge 0$
$5 \ge x$
$x \le 5$
Ответ: $D(f) = (-\infty; 5]$.

6) Функция $f(x) = \frac{3}{\sqrt{x+2}}$ содержит квадратный корень в знаменателе. Подкоренное выражение должно быть строго положительным (неотрицательным из-за корня и не равным нулю из-за знаменателя).
$x+2 > 0$
$x > -2$
Ответ: $D(f) = (-2; +\infty)$.

7) Функция $f(x) = \frac{2x+1}{x^2-6}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$x^2-6 \neq 0$
$x^2 \neq 6$
$x \neq \pm\sqrt{6}$
Ответ: $D(f) = (-\infty; -\sqrt{6}) \cup (-\sqrt{6}; \sqrt{6}) \cup (\sqrt{6}; +\infty)$.

8) Функция $f(x) = \frac{3}{x^2+9}$ является дробно-рациональной. Проверим знаменатель: $x^2+9$. Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+9 \ge 9$. Знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

9) Функция $f(x) = \frac{5x+4}{4x^2-x}$ является дробно-рациональной. Знаменатель не должен быть равен нулю.
$4x^2-x \neq 0$
$x(4x-1) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $4x-1 \neq 0$.
$4x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{4}$
Ответ: $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}; +\infty)$.

10) Функция $f(x) = \frac{x}{|x|-2}$ имеет знаменатель, который не должен быть равен нулю.
$|x|-2 \neq 0$
$|x| \neq 2$
$x \neq 2$ и $x \neq -2$
Ответ: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

11) Функция $f(x) = \frac{x-2}{|x|+4}$ имеет знаменатель $|x|+4$. Так как $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$, то $|x|+4 \ge 4$. Знаменатель никогда не равен нулю. Следовательно, функция определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(f) = (-\infty; +\infty)$ или $x \in \mathbb{R}$.

12) Функция $f(x) = \frac{5}{x^2-|x|}$ имеет знаменатель, который не должен быть равен нулю.
$x^2-|x| \neq 0$
Так как $x^2 = |x|^2$, можно переписать: $|x|^2-|x| \neq 0$.
$|x|(|x|-1) \neq 0$
Это означает, что $|x| \neq 0$ и $|x|-1 \neq 0$.
$|x| \neq 0 \implies x \neq 0$
$|x| \neq 1 \implies x \neq 1$ и $x \neq -1$
Ответ: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

13) Функция $f(x) = \sqrt{x-3} - \sqrt{6-x}$ состоит из разности двух корней. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ 6-x \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \ge 3 \\ x \le 6 \end{cases}$
Пересечением этих условий является отрезок $[3; 6]$.
Ответ: $D(f) = [3; 6]$.

14) Функция $f(x) = \sqrt{x+2} + \frac{x-5}{2x+1}$ содержит и квадратный корень, и дробь.
1. Для корня: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
2. Для дроби: знаменатель $2x+1 \neq 0 \implies 2x \neq -1 \implies x \neq -\frac{1}{2}$.
Объединяя условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен $-2$, но не равен $-\frac{1}{2}$.
Ответ: $D(f) = [-2; -\frac{1}{2}) \cup (-\frac{1}{2}; +\infty)$.

15) Функция $f(x) = \sqrt{7-x} - \sqrt{x-7}$ содержит два квадратных корня. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными.
$\begin{cases} 7-x \ge 0 \\ x-7 \ge 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x \le 7 \\ x \ge 7 \end{cases}$
Единственное число, удовлетворяющее обоим неравенствам, это $x=7$.
Ответ: $D(f) = \{7\}$.

16) Функция $f(x) = \sqrt{x-5} - \frac{3}{\sqrt{4-x}}$ имеет два ограничения.
1. Для $\sqrt{x-5}$: $x-5 \ge 0 \implies x \ge 5$.
2. Для $\frac{3}{\sqrt{4-x}}$: подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным, $4-x > 0 \implies x < 4$.
Нужно найти пересечение условий $x \ge 5$ и $x < 4$. Таких значений $x$ не существует. Область определения пуста.
Ответ: $D(f) = \emptyset$.

17) Функция $f(x) = \sqrt{x+3} + \frac{x+2}{x^2-9}$ содержит корень и дробь.
1. Для корня: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.
2. Для дроби: знаменатель $x^2-9 \neq 0 \implies x^2 \neq 9 \implies x \neq \pm3$.
Объединяем условия: $x \ge -3$ и при этом $x \neq -3$ и $x \neq 3$. Это эквивалентно $x > -3$ и $x \neq 3$.
Ответ: $D(f) = (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

18) Функция $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}} - \frac{3x-1}{x^2-x-6}$ состоит из двух слагаемых, на которые наложены ограничения.
1. Для дроби $\frac{\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}}$:
а) подкоренное выражение в числителе: $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
б) подкоренное выражение в знаменателе: $x+4 > 0 \implies x > -4$.
Пересечение этих двух условий: $x \ge 1$.
2. Для дроби $\frac{3x-1}{x^2-x-6}$: знаменатель не равен нулю.
$x^2-x-6 \neq 0$.
Найдем корни уравнения $x^2-x-6=0$. По теореме Виета $x_1=3, x_2=-2$.
Значит, $x \neq 3$ и $x \neq -2$.
Теперь объединим все условия: $x \ge 1$, $x \neq 3$, $x \neq -2$. Условие $x \neq -2$ уже выполняется, так как мы рассматриваем $x \ge 1$. Остается исключить $x=3$ из промежутка $[1; +\infty)$.
Ответ: $D(f) = [1; 3) \cup (3; +\infty)$.