Номер 61, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

61. При каких значениях $a$ один из корней уравнения $3x^2 - (7a+2)x + 2a^2 + 4a = 0$ меньше 0, а второй — больше 1?

Пусть $f(x) = 3x^2 - (7a+2)x + 2a^2 + 4a$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен 3, что больше 0.

По условию, один корень уравнения $x_1$ меньше 0, а другой корень $x_2$ больше 1. Это означает, что числа 0 и 1 находятся между корнями: $x_1 < 0 < 1 < x_2$.

Для параболы с ветвями вверх это условие выполняется тогда и только тогда, когда значения функции в точках $x=0$ и $x=1$ отрицательны. Таким образом, мы должны решить систему неравенств:$$\begin{cases} f(0) < 0 \\f(1) < 0 \end{cases}$$

1. Решим первое неравенство $f(0) < 0$:

$f(0) = 3(0)^2 - (7a+2) \cdot 0 + 2a^2 + 4a = 2a^2 + 4a$.

$2a^2 + 4a < 0$

$2a(a+2) < 0$

Корни соответствующего уравнения $2a(a+2)=0$ равны $a_1=0$ и $a_2=-2$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Следовательно, решение первого неравенства: $a \in (-2; 0)$.

2. Решим второе неравенство $f(1) < 0$:

$f(1) = 3(1)^2 - (7a+2) \cdot 1 + 2a^2 + 4a = 3 - 7a - 2 + 2a^2 + 4a = 2a^2 - 3a + 1$.

$2a^2 - 3a + 1 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2a^2 - 3a + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$.
$a_1 = \frac{3 - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$a_2 = \frac{3 + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.

Следовательно, решение второго неравенства: $a \in (\frac{1}{2}; 1)$.

3. Найдем решение системы:

Нам необходимо найти пересечение полученных решений:$$\begin{cases} -2 < a < 0 \\\frac{1}{2} < a < 1\end{cases}$$

Интервалы $(-2; 0)$ и $(\frac{1}{2}; 1)$ не пересекаются. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ: Таких значений $a$ не существует.