Номер 57, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

57. Решите неравенство:

1) $ |x + 4| + 2x \ge 7; $

2) $ |x - 3| - 2x < 9; $

3) $ |x + 5| + |x - 3| \le 8; $

4) $ |x + 4| + |x - 2| > 6; $

5) $ |x + 3.5| - |x - 2.5| \le 5; $

6) $ |4x + 3| - |x - 2| > 3. $

1)

Решим неравенство $|x + 4| + 2x \ge 7$.

Для раскрытия модуля рассмотрим два случая. Критическая точка, в которой выражение под модулем меняет знак, это $x = -4$.

Случай 1: $x \ge -4$.
В этом случае $|x + 4| = x + 4$. Неравенство принимает вид:
$x + 4 + 2x \ge 7$
$3x \ge 3$
$x \ge 1$
Учитывая условие $x \ge -4$, решение для этого случая: $x \ge 1$.

Случай 2: $x < -4$.
В этом случае $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$. Неравенство принимает вид:
$-x - 4 + 2x \ge 7$
$x - 4 \ge 7$
$x \ge 11$
Система $\begin{cases} x \ge 11 \\ x < -4 \end{cases}$ не имеет решений.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.
Ответ: $x \in [1, +\infty)$.

2)

Решим неравенство $|x - 3| - 2x < 9$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая. Критическая точка: $x = 3$.

Случай 1: $x \ge 3$.
Тогда $|x - 3| = x - 3$.
$x - 3 - 2x < 9$
$-x < 12$
$x > -12$
Пересекая с условием $x \ge 3$, получаем $x \ge 3$.

Случай 2: $x < 3$.
Тогда $|x - 3| = -(x - 3) = -x + 3$.
$-x + 3 - 2x < 9$
$-3x < 6$
$x > -2$
Пересекая с условием $x < 3$, получаем $-2 < x < 3$.

Объединяем полученные решения: $(-2, 3) \cup [3, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-2, +\infty)$.

3)

Решим неравенство $|x + 5| + |x - 3| \le 8$.

Используем метод интервалов. Критические точки, в которых выражения под модулями равны нулю: $x = -5$ и $x = 3$. Они разбивают числовую прямую на три интервала.

Интервал 1: $x < -5$.
На этом интервале $|x + 5| = -x - 5$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(-x - 5) + (-x + 3) \le 8$
$-2x - 2 \le 8$
$-2x \le 10$
$x \ge -5$
Пересечение с условием $x < -5$ даёт пустое множество.

Интервал 2: $-5 \le x < 3$.
На этом интервале $|x + 5| = x + 5$ и $|x - 3| = -x + 3$.
$(x + 5) + (-x + 3) \le 8$
$8 \le 8$
Неравенство верно для всех $x$ из этого интервала. Решение: $[-5, 3)$.

Интервал 3: $x \ge 3$.
На этом интервале $|x + 5| = x + 5$ и $|x - 3| = x - 3$.
$(x + 5) + (x - 3) \le 8$
$2x + 2 \le 8$
$2x \le 6$
$x \le 3$
Пересечение с условием $x \ge 3$ даёт $x = 3$.

Объединяем все найденные решения: $\emptyset \cup [-5, 3) \cup \{3\}$.
Ответ: $x \in [-5, 3]$.

4)

Решим неравенство $|x + 4| + |x - 2| > 6$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $x = -4$ и $x = 2$.

Интервал 1: $x < -4$.
$|x + 4| = -x - 4$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(-x - 4) + (-x + 2) > 6$
$-2x - 2 > 6$
$-2x > 8$
$x < -4$
Решение на этом интервале: $(-\infty, -4)$.

Интервал 2: $-4 \le x < 2$.
$|x + 4| = x + 4$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(x + 4) + (-x + 2) > 6$
$6 > 6$
Неравенство ложно. Решений на этом интервале нет.

Интервал 3: $x \ge 2$.
$|x + 4| = x + 4$, $|x - 2| = x - 2$.
$(x + 4) + (x - 2) > 6$
$2x + 2 > 6$
$2x > 4$
$x > 2$
Решение на этом интервале: $(2, +\infty)$.

Объединяем решения со всех интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$.

5)

Решим неравенство $|x + 3,5| - |x - 2,5| \le 5$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $x = -3,5$ и $x = 2,5$.

Интервал 1: $x < -3,5$.
$|x + 3,5| = -x - 3,5$, $|x - 2,5| = -x + 2,5$.
$(-x - 3,5) - (-x + 2,5) \le 5$
$-x - 3,5 + x - 2,5 \le 5$
$-6 \le 5$
Неравенство верно. Решение на этом интервале: $(-\infty, -3,5)$.

Интервал 2: $-3,5 \le x < 2,5$.
$|x + 3,5| = x + 3,5$, $|x - 2,5| = -x + 2,5$.
$(x + 3,5) - (-x + 2,5) \le 5$
$x + 3,5 + x - 2,5 \le 5$
$2x + 1 \le 5$
$2x \le 4$
$x \le 2$
Пересечение с условием интервала даёт: $[-3,5, 2]$.

Интервал 3: $x \ge 2,5$.
$|x + 3,5| = x + 3,5$, $|x - 2,5| = x - 2,5$.
$(x + 3,5) - (x - 2,5) \le 5$
$6 \le 5$
Неравенство ложно. Решений нет.

Объединяем решения: $(-\infty, -3,5) \cup [-3,5, 2]$.
Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

6)

Решим неравенство $|4x + 3| - |x - 2| > 3$.

Используем метод интервалов. Критические точки: $4x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3/4$ и $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Интервал 1: $x < -3/4$.
$|4x + 3| = -4x - 3$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(-4x - 3) - (-x + 2) > 3$
$-3x - 5 > 3$
$-3x > 8$
$x < -8/3$
Так как $-8/3 < -3/4$, решение на этом интервале: $x < -8/3$.

Интервал 2: $-3/4 \le x < 2$.
$|4x + 3| = 4x + 3$, $|x - 2| = -x + 2$.
$(4x + 3) - (-x + 2) > 3$
$5x + 1 > 3$
$5x > 2$
$x > 2/5$
Пересечение с условием интервала даёт: $2/5 < x < 2$.

Интервал 3: $x \ge 2$.
$|4x + 3| = 4x + 3$, $|x - 2| = x - 2$.
$(4x + 3) - (x - 2) > 3$
$3x + 5 > 3$
$3x > -2$
$x > -2/3$
Пересечение с условием $x \ge 2$ даёт: $x \ge 2$.

Объединяем все найденные решения: $(-\infty, -8/3) \cup (2/5, 2) \cup [2, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -8/3) \cup (2/5, +\infty)$.