Номер 59, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

59. При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - (a + 1)x - 2a^2 - a = 0$ меньше числа 5?

Для того чтобы корни квадратного уравнения $x^2 - (a+1)x - 2a^2 - a = 0$ были меньше числа 5, необходимо и достаточно, чтобы для соответствующей квадратичной функции $f(x) = x^2 - (a+1)x - 2a^2 - a$ одновременно выполнялись три условия. Графиком данной функции является парабола с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше 0).

Условия следующие:

1. Уравнение должно иметь действительные корни, то есть дискриминант $D$ должен быть неотрицательным ($D \ge 0$).

2. Абсцисса вершины параболы $x_v$ должна быть меньше 5 ($x_v < 5$).

3. Значение функции в точке $x=5$ должно быть положительным ($f(5) > 0$).

Рассмотрим каждое условие по отдельности.

1. Найдем дискриминант уравнения $x^2 - (a+1)x - (2a^2+a) = 0$.
$D = b^2 - 4ac = (-(a+1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-(2a^2+a)) = (a+1)^2 + 4(2a^2+a) = a^2+2a+1+8a^2+4a = 9a^2+6a+1 = (3a+1)^2$.
Поскольку $D = (3a+1)^2$, дискриминант всегда неотрицателен ($D \ge 0$) для любого действительного значения $a$. Следовательно, уравнение всегда имеет действительные корни, и это условие выполняется для всех $a \in \mathbb{R}$.

2. Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.
$x_v = -\frac{-(a+1)}{2 \cdot 1} = \frac{a+1}{2}$.
Теперь решим неравенство $x_v < 5$:
$\frac{a+1}{2} < 5$
$a+1 < 10$
$a < 9$

3. Решим неравенство $f(5) > 0$.
$f(5) = 5^2 - (a+1) \cdot 5 - (2a^2+a) > 0$
$25 - 5a - 5 - 2a^2 - a > 0$
$-2a^2 - 6a + 20 > 0$
Разделим обе части неравенства на -2 и сменим знак на противоположный:
$a^2 + 3a - 10 < 0$
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни уравнения $a^2 + 3a - 10 = 0$. Используя теорему Виета или формулу корней квадратного уравнения, находим корни $a_1=2$ и $a_2=-5$.
Так как парабола $y=a^2+3a-10$ имеет ветви, направленные вверх, неравенство выполняется на интервале между корнями.
Следовательно, $-5 < a < 2$.

Для получения окончательного ответа необходимо найти пересечение множеств решений всех трех условий: $a \in (-\infty; +\infty)$, $a < 9$ и $-5 < a < 2$.
Объединяя эти условия, получаем:$ \begin{cases} a \in (-\infty, +\infty) \\ a < 9 \\ -5 < a < 2 \end{cases} $
Пересечением этих множеств является интервал $(-5, 2)$.

Ответ: $a \in (-5, 2)$.