Номер 53, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

53. Решите неравенство:

1) $(x + 6)(x - 4) < 0;$

2) $(x + 3)(x + 10) \ge 0;$

3) $\frac{x - 6}{x - 12} < 0;$

4) $\frac{5x - 2}{x + 11} > 0;$

5) $\frac{3x - 15}{x} \le 0;$

6) $\frac{9x + 6}{x - 14} \ge 0.$

1) Решим неравенство $(x + 6)(x - 4) < 0$.
Для решения этого квадратичного неравенства используем метод интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $(x + 6)(x - 4) = 0$.
$x + 6 = 0 \Rightarrow x_1 = -6$
$x - 4 = 0 \Rightarrow x_2 = 4$
Отметим точки $-6$ и $4$ на числовой прямой. Так как неравенство строгое ($<0$), точки будут выколотыми (не войдут в решение). Эти точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -6)$, $(-6; 4)$ и $(4; \infty)$.
Определим знак выражения $(x+6)(x-4)$ в каждом интервале. Для этого можно взять пробную точку из каждого интервала или заметить, что это парабола с ветвями вверх, поэтому она отрицательна между корнями.
- В интервале $(-\infty; -6)$: знак «+».
- В интервале $(-6; 4)$: знак «-».
- В интервале $(4; \infty)$: знак «+».
Так как знак неравенства «$<$», решением является интервал, где выражение отрицательно.
Ответ: $(-6; 4)$.

2) Решим неравенство $(x + 3)(x + 10) \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули левой части:
$x + 3 = 0 \Rightarrow x_1 = -3$
$x + 10 = 0 \Rightarrow x_2 = -10$
Отметим точки $-10$ и $-3$ на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\ge 0$), точки будут закрашенными (войдут в решение). Они разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -10]$, $[-10; -3]$ и $[-3; \infty)$.
Определим знаки выражения $(x+3)(x+10)$ на интервалах. Это парабола с ветвями вверх, значит она положительна вне корней. Знаки на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$\ge$», решением являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $(-\infty; -10] \cup [-3; \infty)$.

3) Решим неравенство $\frac{x-6}{x-12} < 0$.
Используем метод интервалов для дробно-рациональных неравенств. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$.
Нуль знаменателя: $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12$.
Отметим точки $6$ и $12$ на числовой прямой. Точка $x=6$ выколота (т.к. неравенство строгое), точка $x=12$ выколота (т.к. знаменатель не может быть равен нулю). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 6)$, $(6; 12)$ и $(12; \infty)$.
Определим знаки выражения $\frac{x-6}{x-12}$ на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$<$», решением является интервал, где выражение отрицательно.
Ответ: $(6; 12)$.

4) Решим неравенство $\frac{5x-2}{x+11} > 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$.
Нуль знаменателя: $x + 11 = 0 \Rightarrow x = -11$.
Отметим точки $-11$ и $\frac{2}{5}$ на числовой прямой. Обе точки выколоты (неравенство строгое, и $x=-11$ - нуль знаменателя). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -11)$, $(-11; \frac{2}{5})$ и $(\frac{2}{5}; \infty)$.
Определим знаки выражения на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$>$», решением являются интервалы, где выражение положительно.
Ответ: $(-\infty; -11) \cup (\frac{2}{5}; \infty)$.

5) Решим неравенство $\frac{3x-15}{x} \le 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $3x - 15 = 0 \Rightarrow x = 5$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.
Отметим точки $0$ и $5$ на числовой прямой. Точка $x=5$ закрашена (нестрогое неравенство), точка $x=0$ выколота (нуль знаменателя). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 5]$ и $[5; \infty)$.
Определим знаки выражения на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$\le$», решением является интервал, где выражение отрицательно, включая нуль числителя.
Ответ: $(0; 5]$.

6) Решим неравенство $\frac{9x+6}{x-14} \ge 0$.
Используем метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя:
Нуль числителя: $9x + 6 = 0 \Rightarrow 9x = -6 \Rightarrow x = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$.
Нуль знаменателя: $x - 14 = 0 \Rightarrow x = 14$.
Отметим точки $-\frac{2}{3}$ и $14$ на числовой прямой. Точка $x=-\frac{2}{3}$ закрашена (нестрогое неравенство), точка $x=14$ выколота (нуль знаменателя). Точки разбивают прямую на три интервала: $(-\infty; -\frac{2}{3}]$, $[-\frac{2}{3}; 14)$ и $(14; \infty)$.
Определим знаки выражения на интервалах (справа налево): «+», «-», «+».
Так как знак неравенства «$\ge$», решением являются интервалы, где выражение положительно или равно нулю.
Ответ: $(-\infty; -\frac{2}{3}] \cup (14; \infty)$.