Номер 60, страница 82 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

60.При каких значениях $a$ корни уравнения $x^2 - 4ax + 3a^2 + 2a - 1 = 0$ принадлежат промежутку $[3; 10]$?

Данное уравнение является квадратным относительно переменной $x$. Для того чтобы его корни принадлежали заданному промежутку, необходимо, чтобы эти корни были действительными. Найдем дискриминант уравнения $x^2 - 4ax + 3a^2 + 2a - 1 = 0$.

$D = (-4a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 + 2a - 1) = 16a^2 - 12a^2 - 8a + 4 = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a-1)^2$.

Поскольку $D = (2(a-1))^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем эти корни:

$x_{1,2} = \frac{-(-4a) \pm \sqrt{4(a-1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{4a \pm 2|a-1|}{2} = 2a \pm |a-1|$.

Для дальнейшего решения необходимо рассмотреть два случая, чтобы раскрыть модуль.

1. Случай, когда $a - 1 \ge 0$, то есть $a \ge 1$.

В этом случае $|a-1| = a-1$. Корни уравнения принимают вид:

$x_1 = 2a + (a-1) = 3a - 1$

$x_2 = 2a - (a-1) = a + 1$

По условию задачи, оба корня должны принадлежать промежутку $[3; 10]$. Это означает, что должна выполняться система неравенств:

$\begin{cases} 3 \le 3a - 1 \le 10 \\ 3 \le a + 1 \le 10 \end{cases}$

Решим первое двойное неравенство:

$3 \le 3a - 1 \implies 4 \le 3a \implies a \ge \frac{4}{3}$

$3a - 1 \le 10 \implies 3a \le 11 \implies a \le \frac{11}{3}$

Решением первого неравенства является промежуток $[\frac{4}{3}; \frac{11}{3}]$.

Решим второе двойное неравенство:

$3 \le a + 1 \implies 2 \le a$

$a + 1 \le 10 \implies a \le 9$

Решением второго неравенства является промежуток $[2; 9]$.

Теперь найдем пересечение полученных решений с условием данного случая $a \ge 1$.

$a \in [\frac{4}{3}; \frac{11}{3}] \cap [2; 9] \cap [1; \infty)$.

Пересечением этих трех множеств является отрезок $[2; \frac{11}{3}]$.

2. Случай, когда $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.

В этом случае $|a-1| = -(a-1) = 1-a$. Корни уравнения:

$x_1 = 2a + (1-a) = a + 1$

$x_2 = 2a - (1-a) = 3a - 1$

Корни те же, что и в первом случае, поэтому условия на параметр $a$ для принадлежности корней промежутку $[3; 10]$ будут теми же: $a \in [\frac{4}{3}; \frac{11}{3}]$ и $a \in [2; 9]$, что в пересечении дает $a \in [2; \frac{11}{3}]$.

Однако эти значения должны удовлетворять условию данного случая, то есть $a < 1$.

Найдем пересечение: $a \in [2; \frac{11}{3}] \cap (-\infty; 1)$.

Это пересечение является пустым множеством, так как не существует числа, которое было бы одновременно меньше 1 и больше либо равно 2. Следовательно, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, мы получаем итоговое решение.

Ответ: $a \in [2; \frac{11}{3}]$.