Номер 66, страница 83 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

66. На рисунке 9 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-5; 4]$. Пользуясь графиком, найдите:

1) $f(-4)$; $f(-3,5)$; $f(-1)$; $f(2)$; $f(3)$; $f(4)$;

2) значения $x$, при которых $f(x) = -2$; $f(x) = 2$; $f(x) = 1$; $f(x) = 0$;

3) область значений функции.

Рис. 9

Для решения задачи воспользуемся представленным графиком функции $y = f(x)$, определённой на промежутке $[-5; 4]$.

Чтобы найти значение функции $f(x)$ при заданном значении аргумента $x$, нужно найти на оси абсцисс (оси $x$) заданное значение, затем найти точку на графике с этой абсциссой и определить её ординату (значение по оси $y$).

При $x = -4$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна 1. Следовательно, $f(-4) = 1$.
При $x = -3,5$, точка на графике лежит на оси абсцисс, следовательно, её ордината равна 0. Таким образом, $f(-3,5) = 0$.
При $x = -1$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна -2. Следовательно, $f(-1) = -2$.
При $x = 2$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна 1. Следовательно, $f(2) = 1$.
При $x = 3$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината находится посередине между 1 и 2. Следовательно, $f(3) = 1,5$.
При $x = 4$, находим соответствующую точку на графике. Её ордината равна 1. Следовательно, $f(4) = 1$.

Ответ: $f(-4) = 1$; $f(-3,5) = 0$; $f(-1) = -2$; $f(2) = 1$; $f(3) = 1,5$; $f(4) = 1$.

Чтобы найти значения $x$, при которых $f(x)$ равно заданному числу, нужно провести горизонтальную прямую на уровне этого значения и найти абсциссы всех точек пересечения этой прямой с графиком функции.

$f(x) = -2$: Проводим прямую $y = -2$. Она пересекает график в двух точках. Абсциссы этих точек: $x = -2,5$ и $x = -1$.
$f(x) = 2$: Проводим прямую $y = 2$. Эта прямая не пересекает график функции. Следовательно, таких значений $x$ не существует.
$f(x) = 1$: Проводим прямую $y = 1$. Она пересекает график в трех точках. Абсциссы этих точек: $x = -4$, $x = 2$ и $x = 4$.
$f(x) = 0$: Ищем точки пересечения графика с осью $x$ (прямой $y = 0$). График пересекает ось $x$ в двух точках. Абсциссы этих точек: $x = -3,5$ и $x = 1$.

Ответ: при $f(x) = -2$, $x = -2,5$ и $x = -1$; при $f(x) = 2$ таких значений $x$ нет; при $f(x) = 1$, $x = -4$, $x = 2$ и $x = 4$; при $f(x) = 0$, $x = -3,5$ и $x = 1$.

Область значений функции — это множество всех значений, которые принимает функция (координата $y$) на своей области определения. Чтобы найти её по графику, нужно определить наименьшее и наибольшее значения функции на заданном промежутке.

По графику находим самую низкую и самую высокую точки.
Наименьшее значение функции (минимальная ордината) достигается в точке с абсциссой $x = -2$. Это значение равно $y_{min} = -2,5$.
Наибольшее значение функции (максимальная ордината) достигается в точке с абсциссой $x = -5$. Это значение равно $y_{max} = 3$.
Функция непрерывна и принимает все значения между своим наименьшим и наибольшим значениями.

Ответ: Область значений функции: $E(f) = [-2,5; 3]$.