Номер 68, страница 84 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

68. Найдите область значений функции:

1) $f(x) = \sqrt{x} + 2$;

2) $f(x) = \sqrt{x} - 3$;

3) $f(x) = 4 - x^2$;

4) $f(x) = x^2 + 1$;

5) $f(x) = |x| - 1$;

6) $f(x) = \sqrt{x^2 + 9} - 1$;

7) $f(x) = \sqrt{-|x| + 1}$;

8) $f(x) = \sqrt{x - 8} - \sqrt{8 - x}$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{x} + 2$.
Область значений функции $g(x) = \sqrt{x}$ есть промежуток $[0, +\infty)$. Это означает, что $\sqrt{x} \ge 0$ для всех $x$ из области определения.
Прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем: $\sqrt{x} + 2 \ge 2$.
Следовательно, $f(x) \ge 2$.
Область значений функции – это промежуток $[2, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [2, +\infty)$

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x} - 3$.
Область значений функции $g(x) = \sqrt{x}$ есть промежуток $[0, +\infty)$, то есть $\sqrt{x} \ge 0$.
Вычитая 3 из обеих частей неравенства, получаем: $\sqrt{x} - 3 \ge -3$.
Следовательно, $f(x) \ge -3$.
Область значений функции – это промежуток $[-3, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-3, +\infty)$

3) Дана функция $f(x) = 4 - x^2$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения, то есть $x^2 \ge 0$.
Умножим неравенство на -1, при этом знак неравенства меняется на противоположный: $-x^2 \le 0$.
Прибавим 4 к обеим частям неравенства: $4 - x^2 \le 4$.
Следовательно, $f(x) \le 4$.
Область значений функции – это промежуток $(-\infty, 4]$.
Ответ: $E(f) = (-\infty, 4]$

4) Дана функция $f(x) = x^2 + 1$.
Выражение $x^2$ принимает любые неотрицательные значения: $x^2 \ge 0$.
Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $x^2 + 1 \ge 1$.
Следовательно, $f(x) \ge 1$.
Область значений функции – это промежуток $[1, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [1, +\infty)$

5) Дана функция $f(x) = |x| - 1$.
Модуль любого числа является неотрицательной величиной: $|x| \ge 0$.
Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $|x| - 1 \ge -1$.
Следовательно, $f(x) \ge -1$.
Область значений функции – это промежуток $[-1, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [-1, +\infty)$

6) Дана функция $f(x) = \sqrt{x^2 + 9} - 1$.
Рассмотрим выражение под корнем. Так как $x^2 \ge 0$, то $x^2 + 9 \ge 9$.
Поскольку функция $g(t) = \sqrt{t}$ возрастающая для неотрицательных $t$, то из $x^2 + 9 \ge 9$ следует $\sqrt{x^2 + 9} \ge \sqrt{9}$, то есть $\sqrt{x^2 + 9} \ge 3$.
Вычтем 1 из обеих частей неравенства: $\sqrt{x^2 + 9} - 1 \ge 3 - 1$, что дает $\sqrt{x^2 + 9} - 1 \ge 2$.
Следовательно, $f(x) \ge 2$.
Область значений функции – это промежуток $[2, +\infty)$.
Ответ: $E(f) = [2, +\infty)$

7) Дана функция $f(x) = \sqrt{1-|x|}$.
Сначала найдем область определения функции. По определению квадратного корня, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - |x| \ge 0$.
Отсюда $|x| \le 1$, что равносильно $-1 \le x \le 1$.
Теперь найдем область значений. Значение квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $f(x) \ge 0$.
Чтобы найти максимальное значение функции, нужно найти максимум подкоренного выражения $1 - |x|$ на отрезке $[-1, 1]$. Выражение $1-|x|$ достигает своего максимума, когда $|x|$ минимально. Минимальное значение $|x|$ на отрезке $[-1, 1]$ равно 0 (при $x=0$).
Максимальное значение функции: $f(0) = \sqrt{1 - |0|} = \sqrt{1} = 1$.
Минимальное значение функции достигается, когда $1-|x|$ минимально, то есть когда $|x|$ максимально. Максимальное значение $|x|$ на отрезке $[-1, 1]$ равно 1 (при $x=1$ и $x=-1$).
Минимальное значение функции: $f(1) = \sqrt{1 - |1|} = 0$.
Таким образом, значения функции лежат в промежутке от 0 до 1 включительно.
Ответ: $E(f) = [0, 1]$

8) Дана функция $f(x) = \sqrt{x-8} - \sqrt{8-x}$.
Найдем область определения функции. Оба подкоренных выражения должны быть неотрицательными. $$ \begin{cases} x-8 \ge 0 \\ 8-x \ge 0 \end{cases} $$ Решая систему неравенств, получаем: $$ \begin{cases} x \ge 8 \\ x \le 8 \end{cases} $$ Единственное число, удовлетворяющее обоим условиям, это $x=8$.
Таким образом, область определения функции состоит из одной точки $x=8$.
Найдем значение функции в этой точке: $f(8) = \sqrt{8-8} - \sqrt{8-8} = \sqrt{0} - \sqrt{0} = 0$.
Поскольку функция определена только в одной точке, ее область значений состоит из одного числа.
Ответ: $E(f) = \{0\}$