Номер 72, страница 85 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

72. Найдите область определения и постройте график функции:

1) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$;

2) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$;

3) $f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 3x}$;

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$.

1) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 3}$

Область определения:
Функция является дробно-рациональной. Ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.
Найдем значения $x$, при которых знаменатель равен нулю:
$x + 3 = 0$
$x = -3$
Следовательно, область определения функции $D(f)$ — это все действительные числа, кроме $x = -3$.
$D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение для функции. Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$f(x) = \frac{x^2 - 3^2}{x + 3} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x + 3}$
При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на $(x+3)$:
$y = x - 3$
Графиком функции является прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой при $x = -3$.
Найдем координаты этой точки:
$y = -3 - 3 = -6$
Координаты выколотой точки: $(-3; -6)$.
Для построения прямой $y = x - 3$ найдем две точки, через которые она проходит:
- при $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. Точка $(0; -3)$.
- при $x=3$, $y = 3 - 3 = 0$. Точка $(3; 0)$.
График представляет собой прямую линию, проходящую через точки $(0; -3)$ и $(3; 0)$, с выколотой точкой в $(-3; -6)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$. График функции – прямая $y = x - 3$ с выколотой точкой $(-3; -6)$.

2) $f(x) = \frac{x^2 - 2x + 1}{x - 1}$

Область определения:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x - 1 \neq 0$
$x \neq 1$
Область определения $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение. Числитель является полным квадратом разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x - 1}$
При $x \neq 1$ сокращаем дробь на $(x-1)$:
$y = x - 1$
Графиком функции является прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой при $x = 1$.
Найдем координаты выколотой точки:
$y = 1 - 1 = 0$
Координаты выколотой точки: $(1; 0)$.
Для построения прямой $y = x - 1$ найдем две точки:
- при $x=0$, $y = 0 - 1 = -1$. Точка $(0; -1)$.
- при $x=2$, $y = 2 - 1 = 1$. Точка $(2; 1)$.
График представляет собой прямую линию, проходящую через точки $(0; -1)$ и $(2; 1)$, с выколотой точкой в $(1; 0)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. График функции – прямая $y = x - 1$ с выколотой точкой $(1; 0)$.

3) $f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 3x}$

Область определения:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x^2 + 3x \neq 0$
$x(x + 3) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 0$ и $x + 3 \neq 0$, то есть $x \neq -3$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Построение графика:
Упростим выражение, вынеся общие множители в числителе и знаменателе:
$f(x) = \frac{2(x + 3)}{x(x + 3)}$
При $x \neq -3$ и $x \neq 0$ сокращаем дробь на $(x+3)$:
$y = \frac{2}{x}$
Графиком функции является гипербола $y = \frac{2}{x}$. Эта функция не определена в точке $x = 0$ (вертикальная асимптота). Кроме того, исходная функция не определена в точке $x = -3$, поэтому на графике гиперболы будет выколотая точка.
Найдем координаты выколотой точки при $x = -3$:
$y = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$
Координаты выколотой точки: $(-3; -2/3)$.
График — гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях. Асимптоты: $x = 0$ (ось Oy) и $y = 0$ (ось Ox). На графике выколота точка $(-3; -2/3)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$. График функции – гипербола $y = \frac{2}{x}$ с выколотой точкой $(-3; -2/3)$.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x^2 - 4}$

Область определения:
Знаменатель дроби не должен равняться нулю.
$x^2 - 4 \neq 0$
$(x - 2)(x + 2) \neq 0$
Это означает, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$.
Область определения $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Построение графика:
При всех $x$ из области определения числитель и знаменатель равны и не равны нулю, поэтому дробь можно сократить:
$f(x) = 1$
Графиком функции является горизонтальная прямая $y = 1$ с выколотыми точками при $x = 2$ и $x = -2$.
Координаты выколотых точек:
- при $x = 2$, $y = 1$. Точка $(2; 1)$.
- при $x = -2$, $y = 1$. Точка $(-2; 1)$.
График представляет собой горизонтальную прямую $y = 1$ с двумя выколотыми точками: $(-2; 1)$ и $(2; 1)$.

Ответ: Область определения: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$. График функции – прямая $y = 1$ с выколотыми точками $(-2; 1)$ и $(2; 1)$.