Номер 79, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

79. На рисунке 11 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3}f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -2f(x)$.

Рис. 11

Для решения задачи необходимо проанализировать исходный график функции $y = f(x)$ и применить к нему заданные преобразования.
Выделим несколько ключевых точек на исходном графике:

• Локальный минимум: $(-2, -2)$
• Точки пересечения с осью $x$ (нули функции): $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$
• Локальный максимум: $(3, 2)$

Эти точки помогут нам отследить изменения графика.

1) y = $\frac{1}{3}f(x)$;
Это преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{3}$. Так как $0 < k < 1$, это означает сжатие графика по вертикали (вдоль оси $y$) в $\frac{1}{k} = 3$ раза. Каждая ордината (координата $y$) каждой точки графика умножается на $\frac{1}{3}$. Абсциссы (координаты $x$) точек остаются без изменений.
Преобразуем наши ключевые точки:

• Локальный минимум: $(-2, -2 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (-2, -\frac{2}{3})$
• Нули функции: $(-1, 0 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (-1, 0)$; $(0, 0 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (0, 0)$; $(4, 0 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (4, 0)$. Точки на оси $x$ остаются на месте.
• Локальный максимум: $(3, 2 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (3, \frac{2}{3})$

График "сплющится" по вертикали.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем сжатия вдоль оси ординат в 3 раза. Локальный минимум будет в точке $(-2, -\frac{2}{3})$, а локальный максимум — в точке $(3, \frac{2}{3})$. Нули функции не изменятся.

2) y = -f(x);
Это преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ с коэффициентом $k = -1$. Это означает симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (оси $x$). Каждая ордината (координата $y$) каждой точки графика умножается на $-1$.
Преобразуем наши ключевые точки:

• Локальный минимум $(-2, -2)$ станет локальным максимумом: $(-2, -(-2)) \rightarrow (-2, 2)$
• Нули функции останутся на месте: $(-1, -0) \rightarrow (-1, 0)$; $(0, -0) \rightarrow (0, 0)$; $(4, -0) \rightarrow (4, 0)$.
• Локальный максимум $(3, 2)$ станет локальным минимумом: $(3, -2) \rightarrow (3, -2)$

Части графика, которые были выше оси $x$, окажутся ниже, и наоборот.
Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $x$. Локальный минимум исходной функции станет локальным максимумом в точке $(-2, 2)$, а локальный максимум — локальным минимумом в точке $(3, -2)$.

3) y = -2f(x).
Это преобразование является комбинацией двух предыдущих: растяжение вдоль оси $y$ и отражение относительно оси $x$. Коэффициент $k = -2$. Каждая ордината (координата $y$) каждой точки графика умножается на $-2$. Это можно рассматривать как растяжение в 2 раза вдоль оси $y$, а затем отражение относительно оси $x$.
Преобразуем наши ключевые точки:

• Локальный минимум $(-2, -2)$ станет локальным максимумом: $(-2, -2 \cdot (-2)) \rightarrow (-2, 4)$
• Нули функции останутся на месте: $(-1, 0 \cdot (-2)) \rightarrow (-1, 0)$; $(0, 0 \cdot (-2)) \rightarrow (0, 0)$; $(4, 0 \cdot (-2)) \rightarrow (4, 0)$.
• Локальный максимум $(3, 2)$ станет локальным минимумом: $(3, 2 \cdot (-2)) \rightarrow (3, -4)$

График растянется по вертикали в 2 раза и перевернется "вверх ногами".
Ответ: График функции $y = -2f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем растяжения вдоль оси ординат в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси абсцисс. Локальный минимум исходной функции станет локальным максимумом в точке $(-2, 4)$, а локальный максимум — локальным минимумом в точке $(3, -4)$.