Страница 87 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

74. Какие из линейных функций $y = 8x - 20$; $y = 0,03x + 5$; $y = 4,02x$; $y = -183x - 1$; $y = x + 5$:

1) возрастающие;

2) убывающие?

Линейная функция задается уравнением вида $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент. Характер монотонности функции (является ли она возрастающей или убывающей) полностью определяется знаком коэффициента $k$.

• Если $k > 0$, то функция является возрастающей. Это означает, что при увеличении значения аргумента $x$ значение функции $y$ также увеличивается.
• Если $k < 0$, то функция является убывающей. Это означает, что при увеличении значения аргумента $x$ значение функции $y$ уменьшается.

Проанализируем каждую из заданных функций, определив знак их углового коэффициента.

1) возрастающие

Ищем функции, у которых угловой коэффициент $k$ положителен ($k > 0$).

• Для функции $y = 8x - 20$ угловой коэффициент $k = 8$. Так как $8 > 0$, эта функция является возрастающей.
• Для функции $y = 0,03x + 5$ угловой коэффициент $k = 0,03$. Так как $0,03 > 0$, эта функция является возрастающей.
• Для функции $y = 4,02x$ угловой коэффициент $k = 4,02$. Так как $4,02 > 0$, эта функция является возрастающей.
• Для функции $y = x + 5$ угловой коэффициент $k = 1$ (так как $x$ это то же самое, что и $1 \cdot x$). Так как $1 > 0$, эта функция является возрастающей.

Ответ: $y = 8x - 20$; $y = 0,03x + 5$; $y = 4,02x$; $y = x + 5$.

2) убывающие

Ищем функции, у которых угловой коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$).

• Для функции $y = -183x - 1$ угловой коэффициент $k = -183$. Так как $-183 < 0$, эта функция является убывающей.

Среди представленных функций только одна имеет отрицательный угловой коэффициент.

Ответ: $y = -183x - 1$.

75. Найдите нули функции:

1) $f(x) = 0,4x + 2;$

2) $f(x) = 4x^2 - 5x + 1;$

3) $f(x) = \sqrt{x+4};$

4) $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x-1};$

5) $f(x) = \sqrt{16-x^2};$

6) $f(x) = \sqrt{x^2+3};$

7) $f(x) = (x+1)\sqrt{x}.$

1) Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $f(x)$ равно нулю. Чтобы найти нули функции $f(x) = 0,4x + 2$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$.
$0,4x + 2 = 0$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$0,4x = -2$
Разделим обе части на 0,4:
$x = \frac{-2}{0,4} = -5$
Ответ: -5.

2) Приравняем функцию $f(x) = 4x^2 - 5x + 1$ к нулю, чтобы найти ее нули. Получим квадратное уравнение:
$4x^2 - 5x + 1 = 0$
Решим его с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2 \cdot 4} = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}; 1$.

3) Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt{x + 4}$, решим уравнение $\sqrt{x + 4} = 0$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
$x + 4 \ge 0 \implies x \ge -4$
Теперь решим уравнение. Возведем обе части в квадрат:
$(\sqrt{x + 4})^2 = 0^2$
$x + 4 = 0$
$x = -4$
Полученное значение $x = -4$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: -4.

4) Чтобы найти нули функции $f(x) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$, нужно приравнять ее к нулю. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не равен нулю.
1. Найдем ОДЗ: знаменатель не может быть равен нулю.
$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$
2. Приравняем числитель к нулю:
$x^2 - 3x + 2 = 0$
По теореме Виета, сумма корней равна 3, а их произведение равно 2. Отсюда $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$.
3. Сравним полученные корни с ОДЗ. Корень $x_1 = 1$ не входит в ОДЗ, поэтому он не является нулем функции. Корень $x_2 = 2$ удовлетворяет ОДЗ.
Таким образом, у функции один нуль.
Ответ: 2.

5) Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt{16 - x^2}$, решим уравнение $\sqrt{16 - x^2} = 0$.
Найдем ОДЗ: $16 - x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 16 \implies -4 \le x \le 4$.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$16 - x^2 = 0$
$x^2 = 16$
$x_1 = 4$, $x_2 = -4$
Оба корня принадлежат ОДЗ.
Ответ: -4; 4.

6) Чтобы найти нули функции $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$, решим уравнение $\sqrt{x^2 + 3} = 0$.
Найдем ОДЗ: $x^2 + 3 \ge 0$. Так как $x^2$ всегда неотрицательно, $x^2 + 3$ всегда больше или равно 3. Следовательно, ОДЗ — все действительные числа ($x \in \mathbb{R}$).
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$x^2 + 3 = 0$
$x^2 = -3$
Данное уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

7) Чтобы найти нули функции $f(x) = (x + 1)\sqrt{x}$, решим уравнение $(x + 1)\sqrt{x} = 0$.
Найдем ОДЗ: $x \ge 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
1. $x + 1 = 0 \implies x = -1$. Это значение не входит в ОДЗ, так как $-1 < 0$.
2. $\sqrt{x} = 0 \implies x = 0$. Это значение входит в ОДЗ.
Следовательно, функция имеет единственный нуль.
Ответ: 0.

76. Докажите, что функция:

1) $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty);$

2) $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на промежутке $[-3; +\infty).$

1) Для доказательства того, что функция $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty)$, воспользуемся определением убывающей функции. Функция является убывающей на промежутке, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ из этого промежутка, таких что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $f(x_1) > f(x_2)$.

Пусть $x_1$ и $x_2$ – произвольные точки из промежутка $(5; +\infty)$, причем $x_1 < x_2$.

Из условия $5 < x_1 < x_2$ следует, что $x_1 - 5 > 0$ и $x_2 - 5 > 0$.

Также из $x_1 < x_2$ следует, что $x_1 - 5 < x_2 - 5$.

Так как обе части последнего неравенства являются положительными числами, мы можем взять от них обратные величины, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$\frac{1}{x_1 - 5} > \frac{1}{x_2 - 5}$

Теперь умножим обе части на положительное число 7. Знак неравенства при этом не изменится:

$\frac{7}{x_1 - 5} > \frac{7}{x_2 - 5}$

Это означает, что $f(x_1) > f(x_2)$.

Таким образом, для любых $x_1 < x_2$ из промежутка $(5; +\infty)$ выполняется $f(x_1) > f(x_2)$, следовательно, функция $f(x)$ убывает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = \frac{7}{x-5}$ убывает на промежутке $(5; +\infty)$.

2) Для доказательства того, что функция $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$, исследуем знак ее производной. Функция возрастает на интервале, если ее производная на этом интервале неотрицательна.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 + 6x)' = 2x + 6$.

Определим, при каких значениях $x$ производная $f'(x)$ неотрицательна, то есть решим неравенство $f'(x) \ge 0$.

$2x + 6 \ge 0$

$2x \ge -6$

$x \ge -3$

Производная $f'(x)$ положительна для всех $x \in (-3; +\infty)$ и равна нулю в точке $x = -3$. Поскольку производная функции неотрицательна на всем промежутке $[-3; +\infty)$, и функция $f(x)$ непрерывна, то функция $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на этом промежутке, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что функция $f(x) = x^2 + 6x$ возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$.

77. При каких значениях $a$ точка $C(a; 64)$ принадлежит графику функции $y = 4x^2$?

Для того чтобы точка $C(a; 64)$ принадлежала графику функции $y = 4x^2$, ее координаты должны удовлетворять уравнению этой функции. Это означает, что если подставить абсциссу точки $x=a$ и ординату $y=64$ в уравнение функции, то получится верное равенство.

Выполним подстановку координат точки $C$ в уравнение $y = 4x^2$:
$64 = 4a^2$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$. Для этого разделим обе части уравнения на 4:
$a^2 = \frac{64}{4}$
$a^2 = 16$

Чтобы найти значения $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение такого вида имеет два корня: положительный и отрицательный.
$a = \sqrt{16}$ или $a = -\sqrt{16}$
$a_1 = 4$
$a_2 = -4$

Таким образом, точка $C(a; 64)$ будет принадлежать графику функции $y = 4x^2$ при двух значениях параметра $a$.

Ответ: $a = 4$ и $a = -4$.

78. Известно, что точка $F(-5; -15)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$. Найдите значение $a$.

Поскольку точка $F(-5; -15)$ принадлежит графику функции $y = ax^2$, ее координаты удовлетворяют уравнению этой функции. Это значит, что если подставить значения $x = -5$ и $y = -15$ в формулу, получится верное равенство.

Подставим координаты точки в уравнение функции:
$-15 = a \cdot (-5)^2$

Теперь решим это уравнение относительно $a$. Сначала вычислим квадрат числа $-5$:
$(-5)^2 = 25$

Уравнение примет вид:
$-15 = a \cdot 25$

Чтобы найти $a$, разделим обе части уравнения на 25:
$a = \frac{-15}{25}$

Сократим полученную дробь на 5:
$a = -\frac{3}{5}$

Это значение можно представить в виде десятичной дроби:
$a = -0.6$

Ответ: $a = -0.6$.

79. На рисунке 11 изображён график функции $y = f(x)$. Постройте график функции:

1) $y = \frac{1}{3}f(x)$;

2) $y = -f(x)$;

3) $y = -2f(x)$.

Рис. 11

Для решения задачи необходимо проанализировать исходный график функции $y = f(x)$ и применить к нему заданные преобразования.
Выделим несколько ключевых точек на исходном графике:

• Локальный минимум: $(-2, -2)$
• Точки пересечения с осью $x$ (нули функции): $(-1, 0)$, $(0, 0)$, $(4, 0)$
• Локальный максимум: $(3, 2)$

Эти точки помогут нам отследить изменения графика.

1) y = $\frac{1}{3}f(x)$;
Это преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ с коэффициентом $k = \frac{1}{3}$. Так как $0 < k < 1$, это означает сжатие графика по вертикали (вдоль оси $y$) в $\frac{1}{k} = 3$ раза. Каждая ордината (координата $y$) каждой точки графика умножается на $\frac{1}{3}$. Абсциссы (координаты $x$) точек остаются без изменений.
Преобразуем наши ключевые точки:

• Локальный минимум: $(-2, -2 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (-2, -\frac{2}{3})$
• Нули функции: $(-1, 0 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (-1, 0)$; $(0, 0 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (0, 0)$; $(4, 0 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (4, 0)$. Точки на оси $x$ остаются на месте.
• Локальный максимум: $(3, 2 \cdot \frac{1}{3}) \rightarrow (3, \frac{2}{3})$

График "сплющится" по вертикали.
Ответ: График функции $y = \frac{1}{3}f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем сжатия вдоль оси ординат в 3 раза. Локальный минимум будет в точке $(-2, -\frac{2}{3})$, а локальный максимум — в точке $(3, \frac{2}{3})$. Нули функции не изменятся.

2) y = -f(x);
Это преобразование вида $y = k \cdot f(x)$ с коэффициентом $k = -1$. Это означает симметричное отражение графика относительно оси абсцисс (оси $x$). Каждая ордината (координата $y$) каждой точки графика умножается на $-1$.
Преобразуем наши ключевые точки:

• Локальный минимум $(-2, -2)$ станет локальным максимумом: $(-2, -(-2)) \rightarrow (-2, 2)$
• Нули функции останутся на месте: $(-1, -0) \rightarrow (-1, 0)$; $(0, -0) \rightarrow (0, 0)$; $(4, -0) \rightarrow (4, 0)$.
• Локальный максимум $(3, 2)$ станет локальным минимумом: $(3, -2) \rightarrow (3, -2)$

Части графика, которые были выше оси $x$, окажутся ниже, и наоборот.
Ответ: График функции $y = -f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем симметричного отражения относительно оси $x$. Локальный минимум исходной функции станет локальным максимумом в точке $(-2, 2)$, а локальный максимум — локальным минимумом в точке $(3, -2)$.

3) y = -2f(x).
Это преобразование является комбинацией двух предыдущих: растяжение вдоль оси $y$ и отражение относительно оси $x$. Коэффициент $k = -2$. Каждая ордината (координата $y$) каждой точки графика умножается на $-2$. Это можно рассматривать как растяжение в 2 раза вдоль оси $y$, а затем отражение относительно оси $x$.
Преобразуем наши ключевые точки:

• Локальный минимум $(-2, -2)$ станет локальным максимумом: $(-2, -2 \cdot (-2)) \rightarrow (-2, 4)$
• Нули функции останутся на месте: $(-1, 0 \cdot (-2)) \rightarrow (-1, 0)$; $(0, 0 \cdot (-2)) \rightarrow (0, 0)$; $(4, 0 \cdot (-2)) \rightarrow (4, 0)$.
• Локальный максимум $(3, 2)$ станет локальным минимумом: $(3, 2 \cdot (-2)) \rightarrow (3, -4)$

График растянется по вертикали в 2 раза и перевернется "вверх ногами".
Ответ: График функции $y = -2f(x)$ получается из графика $y = f(x)$ путем растяжения вдоль оси ординат в 2 раза и последующего симметричного отражения относительно оси абсцисс. Локальный минимум исходной функции станет локальным максимумом в точке $(-2, 4)$, а локальный максимум — локальным минимумом в точке $(3, -4)$.