Страница 92 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

112. Пусть $x_1$ и $x_2$ — нули функции $y = 7x^2 - (6a - 5)x + 2a + 3$. При каких значениях $a$ выполняется неравенство $x_1 < -1 < x_2$?

Пусть дана функция $f(x) = 7x^2 - (6a-5)x + 2a + 3$. Нули функции, $x_1$ и $x_2$, являются корнями квадратного уравнения $7x^2 - (6a-5)x + 2a + 3 = 0$.

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 7. Так как $7 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

Условие, что корни $x_1$ и $x_2$ находятся по разные стороны от числа -1, то есть $x_1 < -1 < x_2$, для параболы с ветвями вверх означает, что значение функции в точке $x = -1$ должно быть отрицательным. Геометрически это означает, что точка на параболе с абсциссой -1 лежит ниже оси Ox. Это условие, $f(-1) < 0$, является достаточным, так как если парабола с ветвями вверх имеет хотя бы одну точку ниже оси абсцисс, она обязательно пересечет эту ось в двух различных точках.

Вычислим значение функции в точке $x = -1$:

$f(-1) = 7(-1)^2 - (6a-5)(-1) + 2a + 3$

$f(-1) = 7 \cdot 1 + (6a-5) + 2a + 3$

$f(-1) = 7 + 6a - 5 + 2a + 3$

$f(-1) = (6a + 2a) + (7 - 5 + 3)$

$f(-1) = 8a + 5$

Теперь решим неравенство $f(-1) < 0$, чтобы найти искомые значения $a$:

$8a + 5 < 0$

$8a < -5$

$a < -\frac{5}{8}$

Таким образом, неравенство из условия задачи выполняется при всех значениях $a$, меньших $-\frac{5}{8}$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{5}{8})$.

113. Решите неравенство:

1) $x^2 - 4x - 96 > 0;$

2) $x^2 + 3x - 28 \le 0;$

3) $-x^2 + 2.8x + 0.6 < 0;$

4) $-3x^2 + 7x + 6 < 0;$

5) $3x^2 + 18x \ge 0;$

6) $25x^2 - 16 < 0;$

7) $49x^2 + 14x + 1 > 0;$

8) $x^2 - 16x + 64 \ge 0;$

9) $3x^2 + 2x + 4 > 0;$

10) $4x^2 - 4x + 1 \le 0;$

11) $4x^2 - 60x + 225 < 0;$

12) $2x^2 + x + 3 \le 0.$

1) Для решения неравенства $x^2 - 4x - 96 > 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 96 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$.
Найдем корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{4 - 20}{2} = -8$;
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = 12$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 96$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < -8$ или $x > 12$.
Ответ: $(-\infty; -8) \cup (12; +\infty)$.

2) Для решения неравенства $x^2 + 3x - 28 \le 0$ найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 - 11}{2} = -7$;
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = 4$.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-7 \le x \le 4$.
Ответ: $[-7; 4]$.

3) Дано неравенство $-x^2 + 2,8x + 0,6 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2,8x - 0,6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2,8x - 0,6 = 0$. Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10x^2 - 28x - 6 = 0$. Разделим на 2: $5x^2 - 14x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$.
Корни: $x_1 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 16}{10} = -0,2$;
$x_2 = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2,8x - 0,6$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 2,8x - 0,6 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty; -0,2) \cup (3; +\infty)$.

4) Дано неравенство $-3x^2 + 7x + 6 < 0$. Умножим обе части на -1 и сменим знак: $3x^2 - 7x - 6 > 0$.
Решим уравнение $3x^2 - 7x - 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$;
$x_2 = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 7x - 6$ направлены вверх ($a=3>0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty; -2/3) \cup (3; +\infty)$.

5) Дано неравенство $3x^2 + 18x \ge 0$. Разложим левую часть на множители: $3x(x + 6) \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x(x + 6) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.
Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=3>0$). Неравенство выполняется на концах и вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

6) Дано неравенство $25x^2 - 16 < 0$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(5x - 4)(5x + 4) < 0$.
Корни уравнения $(5x - 4)(5x + 4) = 0$: $x_1 = 4/5$, $x_2 = -4/5$.
Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=25>0$). Неравенство выполняется между корнями.
$-4/5 < x < 4/5$.
Ответ: $(-4/5; 4/5)$.

7) Дано неравенство $49x^2 + 14x + 1 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $(7x + 1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(7x + 1)^2$ равно нулю при $7x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/7$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = -1/7$.
Ответ: $(-\infty; -1/7) \cup (-1/7; +\infty)$.

8) Дано неравенство $x^2 - 16x + 64 \ge 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x - 8)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю).
Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

9) Дано неравенство $3x^2 + 2x + 4 > 0$. Найдем дискриминант уравнения $3x^2 + 2x + 4 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=3 > 0$, парабола $y = 3x^2 + 2x + 4$ полностью лежит выше оси абсцисс и не имеет точек пересечения с ней. Это означает, что выражение $3x^2 + 2x + 4$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство верно для любого действительного $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

10) Дано неравенство $4x^2 - 4x + 1 \le 0$. Левая часть является полным квадратом: $(2x - 1)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - 1)^2 \ge 0$.
Неравенство $(2x - 1)^2 < 0$ не имеет решений. Остается только возможность равенства нулю: $(2x - 1)^2 = 0$.
$2x - 1 = 0$, откуда $x = 1/2$.
Ответ: $1/2$.

11) Дано неравенство $4x^2 - 60x + 225 < 0$. Левая часть является полным квадратом: $(2x - 15)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: Решений нет.

12) Дано неравенство $2x^2 + x + 3 \le 0$. Найдем дискриминант уравнения $2x^2 + x + 3 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, парабола $y = 2x^2 + x + 3$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $2x^2 + x + 3$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $2x^2 + x + 3 \le 0$ не имеет решений.
Ответ: Решений нет.

114. Решите неравенство:

1) $x^2 \leq 25;$

2) $x^2 > 13;$

3) $4x^2 \leq 9x;$

4) $-6x^2 \geq -24x;$

5) $-4x^2 > -64;$

6) $-0,6x^2 < 24x.$

1) Решим неравенство $x^2 \leq 25$.
Перенесем 25 в левую часть неравенства, чтобы получить $x^2 - 25 \leq 0$.
Левая часть является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 5)(x + 5) \leq 0$.
Найдем нули функции $y = (x - 5)(x + 5)$, решив уравнение $(x - 5)(x + 5) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 5]$ и $[5; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале методом подстановки:
- на интервале $(-\infty; -5]$ (например, при $x = -6$): $(-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) = 11 > 0$.
- на интервале $[-5; 5]$ (например, при $x = 0$): $(0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) = -25 < 0$.
- на интервале $[5; +\infty)$ (например, при $x = 6$): $(6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) = 11 > 0$.
Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-5; 5]$.
Ответ: $x \in [-5; 5]$.

2) Решим неравенство $x^2 > 13$.
Перенесем 13 в левую часть: $x^2 - 13 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13}) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13}) = 0$ равны $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{13})$, $(-\sqrt{13}; \sqrt{13})$ и $(\sqrt{13}; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- на интервале $(-\infty; -\sqrt{13})$ выражение положительно.
- на интервале $(-\sqrt{13}; \sqrt{13})$ выражение отрицательно.
- на интервале $(\sqrt{13}; +\infty)$ выражение положительно.
Нас интересуют промежутки, где выражение строго больше нуля. Это объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $4x^2 \leq 9x$.
Перенесем все члены в левую часть: $4x^2 - 9x \leq 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(4x - 9) \leq 0$.
Найдем нули функции $y = x(4x - 9)$, решив уравнение $x(4x - 9) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $4x - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; \frac{9}{4}]$ и $[\frac{9}{4}; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- на интервале $(-\infty; 0]$ (например, при $x = -1$): $(-1)(4(-1) - 9) = (-1)(-13) = 13 > 0$.
- на интервале $[0; \frac{9}{4}]$ (например, при $x = 1$): $1(4(1) - 9) = 1(-5) = -5 < 0$.
- на интервале $[\frac{9}{4}; +\infty)$ (например, при $x = 3$): $3(4(3) - 9) = 3(3) = 9 > 0$.
Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[0; \frac{9}{4}]$.
Ответ: $x \in [0; \frac{9}{4}]$.

4) Решим неравенство $-6x^2 \geq -24x$.
Перенесем все члены в левую часть: $-6x^2 + 24x \geq 0$.
Разделим обе части неравенства на -6 и сменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x \leq 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) \leq 0$.
Найдем нули функции $y = x(x - 4)$, решив уравнение $x(x - 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 4]$ и $[4; +\infty)$.
Парабола $y = x^2 - 4x$ ветвями вверх, значит, она принимает неположительные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства - это интервал $[0; 4]$.
Ответ: $x \in [0; 4]$.

5) Решим неравенство $-4x^2 > -64$.
Разделим обе части неравенства на -4, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 < 16$.
Перенесем 16 в левую часть: $x^2 - 16 < 0$.
Разложим на множители: $(x - 4)(x + 4) < 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Парабола $y = x^2 - 16$ ветвями вверх, значит, она принимает отрицательные значения между корнями.
Так как неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Следовательно, решение неравенства - это интервал $(-4; 4)$.
Ответ: $x \in (-4; 4)$.

6) Решим неравенство $-0,6x^2 < 24x$.
Перенесем все члены в левую часть: $-0,6x^2 - 24x < 0$.
Умножим обе части на -10, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$, и изменим знак неравенства: $6x^2 + 240x > 0$.
Разделим обе части на 6: $x^2 + 40x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 40) > 0$.
Найдем нули функции $y = x(x + 40)$, решив уравнение $x(x + 40) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -40$.
Парабола $y = x^2 + 40x$ ветвями вверх, значит, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются.
Следовательно, решение - это объединение двух интервалов: $(-\infty; -40)$ и $(0; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -40) \cup (0; +\infty)$.

115. Найдите множество решений неравенства:

1) $(2x + 1)(x - 4) \le 5;$

2) $(x - 4)^2 + 12 \ge (3x - 2)^2;$

3) $\frac{x^2 - 9}{5} - \frac{x + 1}{4} \ge \frac{x - 5}{2};$

4) $\frac{x^2 + x}{8} - \frac{3 - x}{3} < \frac{2x^2 + 5}{5} - 2.$

1) Исходное неравенство: $(2x + 1)(x - 4) \leq 5$.
Раскроем скобки в левой части:
$2x^2 - 8x + x - 4 \leq 5$
$2x^2 - 7x - 4 \leq 5$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
$2x^2 - 7x - 4 - 5 \leq 0$
$2x^2 - 7x - 9 \leq 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта.
$a = 2$, $b = -7$, $c = -9$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5$
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы $y = 2x^2 - 7x - 9$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2x^2 - 7x - 9 \leq 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1; 4.5]$.
Ответ: $[-1; 4.5]$.

2) Исходное неравенство: $(x - 4)^2 + 12 \geq (3x - 2)^2$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:
$(x^2 - 8x + 16) + 12 \geq (9x^2 - 12x + 4)$
$x^2 - 8x + 28 \geq 9x^2 - 12x + 4$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 \geq 9x^2 - x^2 - 12x + 8x + 4 - 28$
$0 \geq 8x^2 - 4x - 24$
Разделим обе части на 4 (знак неравенства не меняется):
$0 \geq 2x^2 - x - 6$, или $2x^2 - x - 6 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$.
$a = 2$, $b = -1$, $c = -6$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 6$ направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2 - x - 6 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Решение: $x \in [-1.5; 2]$.
Ответ: $[-1.5; 2]$.

3) Исходное неравенство: $\frac{x^2 - 9}{5} - \frac{x + 1}{4} \geq \frac{x - 5}{2}$.
Найдем наименьший общий знаменатель дробей: НОК(5, 4, 2) = 20. Умножим обе части неравенства на 20, чтобы избавиться от дробей:
$20 \cdot \frac{x^2 - 9}{5} - 20 \cdot \frac{x + 1}{4} \geq 20 \cdot \frac{x - 5}{2}$
$4(x^2 - 9) - 5(x + 1) \geq 10(x - 5)$
Раскроем скобки:
$4x^2 - 36 - 5x - 5 \geq 10x - 50$
$4x^2 - 5x - 41 \geq 10x - 50$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 - 5x - 10x - 41 + 50 \geq 0$
$4x^2 - 15x + 9 \geq 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 15x + 9 = 0$.
$a = 4$, $b = -15$, $c = 9$
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$
Ветви параболы $y = 4x^2 - 15x + 9$ направлены вверх ($a=4 > 0$), поэтому неравенство $4x^2 - 15x + 9 \geq 0$ выполняется при значениях $x$ вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; \frac{3}{4}] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{3}{4}] \cup [3; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $\frac{x^2 + x}{8} - \frac{3 - x}{3} < \frac{2x^2 + 5}{5} - 2$.
Найдем наименьший общий знаменатель: НОК(8, 3, 5) = 120. Умножим обе части неравенства на 120:
$120 \cdot \frac{x^2 + x}{8} - 120 \cdot \frac{3 - x}{3} < 120 \cdot \frac{2x^2 + 5}{5} - 120 \cdot 2$
$15(x^2 + x) - 40(3 - x) < 24(2x^2 + 5) - 240$
Раскроем скобки:
$15x^2 + 15x - 120 + 40x < 48x^2 + 120 - 240$
$15x^2 + 55x - 120 < 48x^2 - 120$
Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены в левую:
$-120 + 120 < 48x^2 - 15x^2 - 55x$
$0 < 33x^2 - 55x$
$33x^2 - 55x > 0$
Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:
$11x(3x - 5) > 0$
Найдем корни уравнения $11x(3x - 5) = 0$.
$11x = 0 \implies x_1 = 0$
$3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{3}$
Ветви параболы $y = 33x^2 - 55x$ направлены вверх ($a=33 > 0$), поэтому неравенство $33x^2 - 55x > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.

116. Найдите целые решения неравенства:

1) $x^2 - 7x \le 0$;

2) $x^2 - 20 < 0$;

3) $-8x^2 + 13x + 6 \ge 0$;

4) $12x^2 - 13x + 3 \le 0$;

5) $-\frac{1}{2}x^2 + x + 24 > 0$;

6) $x^2 - 4,6x - 2 \le 0$.

1) Решим неравенство $x^2 - 7x \le 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x = 0$.
$x(x - 7) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 7x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [0, 7]$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

2) Решим неравенство $x^2 - 20 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 20 = 0$.
$x^2 = 20 \Rightarrow x = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}$.
Графиком функции $y = x^2 - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.
Оценим значение $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$. Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{20} < 5$. Более точно, $\sqrt{20} \approx 4.47$.
Таким образом, искомый интервал примерно $(-4.47, 4.47)$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

3) Решим неравенство $-8x^2 + 13x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $-8x^2 + 13x + 6 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $8x^2 - 13x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-6) = 169 + 192 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{13 - 19}{2 \cdot 8} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}$.
$x_2 = \frac{13 + 19}{2 \cdot 8} = \frac{32}{16} = 2$.
Графиком функции $y = -8x^2 + 13x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значения функции не отрицательны (больше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решение неравенства: $x \in [-\frac{3}{8}, 2]$.
Так как $-\frac{3}{8} = -0.375$, то целые решения, принадлежащие этому промежутку: 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

4) Решим неравенство $12x^2 - 13x + 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $12x^2 - 13x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 3 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{13 - 5}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
Графиком функции $y = 12x^2 - 13x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$.
В этом промежутке нет целых чисел.
Ответ: нет целых решений.

5) Решим неравенство $-\frac{1}{2}x^2 + x + 24 > 0$.
Умножим обе части на -2 и сменим знак неравенства: $x^2 - 2x - 48 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-6, 8)$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

6) Решим неравенство $x^2 - 4.6x - 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4.6x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4.6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 21.16 + 8 = 29.16$.
$\sqrt{D} = \sqrt{29.16} = 5.4$.
$x_1 = \frac{4.6 - 5.4}{2} = \frac{-0.8}{2} = -0.4$.
$x_2 = \frac{4.6 + 5.4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 4.6x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in [-0.4, 5]$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.

117. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{x^2+7x-18}$;

2) $y=\frac{3x-7}{\sqrt{5x+10x^2}}$;

3) $y=\sqrt{2x^2-5x+2+\frac{8}{x^2-9}}$;

4) $y=\frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}}-\frac{x-14}{3x^2+5x-2}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 7x - 18}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$x^2 + 7x - 18 \ge 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x - 18 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = -9$.
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = 2$.
Парабола $y = x^2 + 7x - 18$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому она принимает неотрицательные значения на лучах левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \le -9$ и $x \ge 2$.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -9] \cup [2, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{3x - 7}{\sqrt{5x + 10x^2}}$ задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (подкоренное выражение не может быть отрицательным, и знаменатель не может быть равен нулю).
$5x + 10x^2 > 0$.
Перепишем неравенство в стандартном виде и вынесем общий множитель:
$10x^2 + 5x > 0$
$5x(2x + 1) > 0$.
Найдем корни уравнения $5x(2x + 1) = 0$:
$x_1 = 0$, $x_2 = -0.5$.
Парабола $y = 10x^2 + 5x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства является $x < -0.5$ или $x > 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -0.5) \cup (0, +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2} + \frac{8}{x^2 - 9}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.
1. Для слагаемого $\sqrt{2x^2 - 5x + 2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0.5] \cup [2, +\infty)$.
2. Для слагаемого $\frac{8}{x^2 - 9}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \ne 0 \implies x^2 \ne 9 \implies x \ne 3$ и $x \ne -3$.
3. Найдем пересечение полученных множеств. Из множества $(-\infty, 0.5] \cup [2, +\infty)$ необходимо исключить точки -3 и 3.
Точка $x = -3$ принадлежит промежутку $(-\infty, 0.5]$, а точка $x = 3$ принадлежит промежутку $[2, +\infty)$. Исключая их, получаем итоговое множество.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 0.5] \cup [2, 3) \cup (3, +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}} - \frac{x-14}{3x^2+5x-2}$ является пересечением областей определения уменьшаемого и вычитаемого.
1. Для дроби $\frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$12 - 17x - 7x^2 > 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак:
$7x^2 + 17x - 12 < 0$.
Найдем корни уравнения $7x^2 + 17x - 12 = 0$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 289 + 336 = 625 = 25^2$.
$x_1 = \frac{-17 - 25}{14} = \frac{-42}{14} = -3$.
$x_2 = \frac{-17 + 25}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-3, 4/7)$.
2. Для дроби $\frac{x-14}{3x^2+5x-2}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$3x^2 + 5x - 2 \ne 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, $x \ne -2$ и $x \ne 1/3$.
3. Найдем пересечение множеств: из интервала $(-3, 4/7)$ нужно исключить точки -2 и 1/3. Обе точки лежат внутри этого интервала.
Ответ: $D(y) = (-3, -2) \cup (-2, 1/3) \cup (1/3, 4/7)$.