Номер 117, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

117. Найдите область определения функции:

1) $y=\sqrt{x^2+7x-18}$;

2) $y=\frac{3x-7}{\sqrt{5x+10x^2}}$;

3) $y=\sqrt{2x^2-5x+2+\frac{8}{x^2-9}}$;

4) $y=\frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}}-\frac{x-14}{3x^2+5x-2}$.

1) Область определения функции $y = \sqrt{x^2 + 7x - 18}$ задается условием неотрицательности подкоренного выражения:
$x^2 + 7x - 18 \ge 0$.
Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 7x - 18 = 0$.
Используем формулу для корней квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2$.
$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = -9$.
$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = 2$.
Парабола $y = x^2 + 7x - 18$ имеет ветви, направленные вверх (коэффициент при $x^2$ положителен), поэтому она принимает неотрицательные значения на лучах левее меньшего корня и правее большего корня.
Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков: $x \le -9$ и $x \ge 2$.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -9] \cup [2, +\infty)$.

2) Область определения функции $y = \frac{3x - 7}{\sqrt{5x + 10x^2}}$ задается условием, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным (подкоренное выражение не может быть отрицательным, и знаменатель не может быть равен нулю).
$5x + 10x^2 > 0$.
Перепишем неравенство в стандартном виде и вынесем общий множитель:
$10x^2 + 5x > 0$
$5x(2x + 1) > 0$.
Найдем корни уравнения $5x(2x + 1) = 0$:
$x_1 = 0$, $x_2 = -0.5$.
Парабола $y = 10x^2 + 5x$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Следовательно, решением неравенства является $x < -0.5$ или $x > 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -0.5) \cup (0, +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \sqrt{2x^2 - 5x + 2} + \frac{8}{x^2 - 9}$ является пересечением областей определения двух слагаемых.
1. Для слагаемого $\sqrt{2x^2 - 5x + 2}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$2x^2 - 5x + 2 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - 5x + 2 = 0$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
$x_1 = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$.
$x_2 = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0.5] \cup [2, +\infty)$.
2. Для слагаемого $\frac{8}{x^2 - 9}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 9 \ne 0 \implies x^2 \ne 9 \implies x \ne 3$ и $x \ne -3$.
3. Найдем пересечение полученных множеств. Из множества $(-\infty, 0.5] \cup [2, +\infty)$ необходимо исключить точки -3 и 3.
Точка $x = -3$ принадлежит промежутку $(-\infty, 0.5]$, а точка $x = 3$ принадлежит промежутку $[2, +\infty)$. Исключая их, получаем итоговое множество.
Ответ: $D(y) = (-\infty, -3) \cup (-3, 0.5] \cup [2, 3) \cup (3, +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}} - \frac{x-14}{3x^2+5x-2}$ является пересечением областей определения уменьшаемого и вычитаемого.
1. Для дроби $\frac{x+14}{\sqrt{12-17x-7x^2}}$ выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным:
$12 - 17x - 7x^2 > 0$.
Умножим неравенство на -1, изменив знак:
$7x^2 + 17x - 12 < 0$.
Найдем корни уравнения $7x^2 + 17x - 12 = 0$:
$D = 17^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-12) = 289 + 336 = 625 = 25^2$.
$x_1 = \frac{-17 - 25}{14} = \frac{-42}{14} = -3$.
$x_2 = \frac{-17 + 25}{14} = \frac{8}{14} = \frac{4}{7}$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на интервале между корнями: $x \in (-3, 4/7)$.
2. Для дроби $\frac{x-14}{3x^2+5x-2}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$3x^2 + 5x - 2 \ne 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 + 5x - 2 = 0$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2$.
$x_2 = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Следовательно, $x \ne -2$ и $x \ne 1/3$.
3. Найдем пересечение множеств: из интервала $(-3, 4/7)$ нужно исключить точки -2 и 1/3. Обе точки лежат внутри этого интервала.
Ответ: $D(y) = (-3, -2) \cup (-2, 1/3) \cup (1/3, 4/7)$.