Номер 123, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

123. При каких значениях m не имеет решений неравенство:

1) $mx^2 - 8mx + 3m + 7 > 0;$

2) $(2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 \le 0?$

1) $mx^2 - 8mx + 3m + 7 > 0$

Неравенство не имеет решений, если для всех действительных значений $x$ выполняется противоположное неравенство:

$mx^2 - 8mx + 3m + 7 \le 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $m = 0$.

При $m = 0$ неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 - 8 \cdot 0 \cdot x + 3 \cdot 0 + 7 \le 0$, то есть $7 \le 0$. Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $m=0$ исходное неравенство $7 > 0$ верно для любого $x$, то есть имеет решения. Значит, $m=0$ не является решением задачи.

Случай 2: $m \ne 0$.

В этом случае левая часть неравенства $mx^2 - 8mx + 3m + 7 \le 0$ является квадратным трехчленом. Чтобы этот трехчлен был неположительным для всех значений $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным, то есть $m < 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным, то есть $D \le 0$. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс или касается ее в одной точке.

Найдем дискриминант $D$. Коэффициенты: $a = m$, $b = -8m$, $c = 3m + 7$.

$D = b^2 - 4ac = (-8m)^2 - 4m(3m + 7) = 64m^2 - 12m^2 - 28m = 52m^2 - 28m$.

Теперь решим систему неравенств:

$\begin{cases} m < 0 \\ 52m^2 - 28m \le 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$52m^2 - 28m \le 0$

$4m(13m - 7) \le 0$

Корнями уравнения $4m(13m - 7) = 0$ являются $m_1 = 0$ и $m_2 = \frac{7}{13}$. Так как ветви параболы $y = 52m^2 - 28m$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями (включая их).

Таким образом, решение второго неравенства: $0 \le m \le \frac{7}{13}$.

Теперь найдем решение системы, то есть пересечение множеств решений обоих неравенств:

$\begin{cases} m < 0 \\ 0 \le m \le \frac{7}{13} \end{cases}$

Пересечение этих множеств пусто. Это означает, что не существует таких значений $m$, при которых оба условия выполняются одновременно.

Ответ: Таких значений $m$ не существует.

2) $(2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 \le 0$

Неравенство не имеет решений, если для всех действительных значений $x$ выполняется противоположное неравенство:

$(2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 > 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$2m + 1 = 0 \implies m = -0,5$.

При $m = -0,5$ неравенство становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 2(-0,5 + 2)x + (-0,5 + 5,6) > 0$

$2(1,5)x + 5,1 > 0$

$3x + 5,1 > 0$

$3x > -5,1 \implies x > -1,7$

Это неравенство выполняется не для всех $x$ (например, не выполняется для $x = -2$). Значит, $m = -0,5$ не является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($m \ne -0,5$).

В этом случае левая часть неравенства является квадратным трехчленом. Чтобы этот трехчлен был положителен для всех значений $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным, то есть $2m + 1 > 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным, то есть $D < 0$. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс.

Составим и решим систему неравенств.

1. $2m + 1 > 0 \implies 2m > -1 \implies m > -0,5$.

2. Найдем дискриминант $D$. Удобнее использовать "деленный на 4" дискриминант $D/4 = k^2 - ac$, где $k = m+2$.

$a = 2m + 1$, $k = m + 2$, $c = m + 5,6$.

$D/4 = (m + 2)^2 - (2m + 1)(m + 5,6) < 0$

$(m^2 + 4m + 4) - (2m^2 + 11,2m + m + 5,6) < 0$

$m^2 + 4m + 4 - 2m^2 - 12,2m - 5,6 < 0$

$-m^2 - 8,2m - 1,6 < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$m^2 + 8,2m + 1,6 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $m^2 + 8,2m + 1,6 = 0$. Для удобства умножим на 10: $10m^2 + 82m + 16 = 0$, или, разделив на 2: $5m^2 + 41m + 8 = 0$.

$D_m = 41^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 1681 - 160 = 1521 = 39^2$.

$m_1 = \frac{-41 - 39}{2 \cdot 5} = \frac{-80}{10} = -8$.

$m_2 = \frac{-41 + 39}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0,2$.

Так как ветви параболы $y = m^2 + 8,2m + 1,6$ направлены вверх, неравенство $m^2 + 8,2m + 1,6 > 0$ выполняется при значениях $m$ вне интервала между корнями:

$m < -8$ или $m > -0,2$.

Теперь объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} m > -0,5 \\ m \in (-\infty, -8) \cup (-0,2, +\infty) \end{cases}$

Находя пересечение этих множеств, получаем, что $m$ должно быть больше $-0,5$ и одновременно больше $-0,2$. Следовательно, итоговое решение:

$m > -0,2$.

Ответ: $m \in (-0,2; +\infty)$.