Номер 126, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите неравенство:

1) $|x^2 + 2x - 4| < 4$;

2) $|x^2 - 6x| > 7$;

3) $|x + 3|(x - 6) \ge 4x$;

4) $x^2 + 9|x| < 10$;

5) $x^2 - 4x + 6 > |x + 2|$;

6) $x^2 - 3|x - 3| + 8 \le 5|x + 2|$.

1) $|x^2 + 2x - 4| < 4$

Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

$-4 < x^2 + 2x - 4 < 4$

Это эквивалентно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 4 > -4 \\ x^2 + 2x - 4 < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 2x > 0$

$x(x + 2) > 0$

Корни $x=0$ и $x=-2$. Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.

Неравенство $(x+4)(x-2) < 0$ имеет решение: $x \in (-4, 2)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ и $(-4, 2)$.

Пересечением является $x \in (-4, -2) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (0, 2)$.

2) $|x^2 - 6x| > 7$

Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

1. $x^2 - 6x > 7$

$x^2 - 6x - 7 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.

Решение неравенства $(x+1)(x-7) > 0$: $x \in (-\infty, -1) \cup (7, \infty)$.

2. $x^2 - 6x < -7$

$x^2 - 6x + 7 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Решение неравенства: $x \in (3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2})$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \cup (7, \infty)$.

3) $|x + 3|(x - 6) \geq 4x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 3 \geq 0$, то есть $x \geq -3$.

$(x + 3)(x - 6) \geq 4x$

$x^2 - 3x - 18 \geq 4x$

$x^2 - 7x - 18 \geq 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 9$.

Решение неравенства $(x+2)(x-9) \geq 0$: $x \in (-\infty, -2] \cup [9, \infty)$.

Учитывая условие $x \geq -3$, получаем: $x \in [-3, -2] \cup [9, \infty)$.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

$-(x + 3)(x - 6) \geq 4x$

$-x^2 + 3x + 18 \geq 4x$

$x^2 + x - 18 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 18 = 0$: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-18)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2}$.

Решение неравенства: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{73}}{2}]$.

Учитывая условие $x < -3$, получаем: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, -3)$.

Объединяем решения обоих случаев: $[-3, -2] \cup [9, \infty)$ и $[\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, -3)$.

Ответ: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, -2] \cup [9, \infty)$.

4) $x^2 + 9|x| < 10$

Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \geq 0$.

$t^2 + 9t < 10$

$t^2 + 9t - 10 < 0$

Корни уравнения $t^2 + 9t - 10 = 0$: $t_1 = -10$, $t_2 = 1$.

Решение неравенства $(t+10)(t-1) < 0$: $t \in (-10, 1)$.

Учитывая условие $t \geq 0$, получаем $0 \leq t < 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 \leq |x| < 1$, что равносильно $|x| < 1$.

$-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

5) $x^2 - 4x + 6 > |x + 2|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$.

$x^2 - 4x + 6 > x + 2$

$x^2 - 5x + 4 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Решение неравенства $(x-1)(x-4) > 0$: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

С учетом условия $x \geq -2$, получаем: $x \in [-2, 1) \cup (4, \infty)$.

Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

$x^2 - 4x + 6 > -(x + 2)$

$x^2 - 3x + 8 > 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола всегда выше оси Ox, и неравенство верно для любого $x$.

С учетом условия $x < -2$, получаем: $x \in (-\infty, -2)$.

Объединяем решения обоих случаев: $(-\infty, -2) \cup [-2, 1) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

6) $x^2 - 3|x - 3| + 8 \leq 5|x + 2|$

Рассмотрим три интервала, определяемых точками, где выражения под модулем равны нулю: $x=-2$ и $x=3$.

Случай 1: $x < -2$.

$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$

$|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$

$x^2 - 3(3 - x) + 8 \leq 5(-x - 2)$

$x^2 + 8x + 9 \leq 0$

Корни $x^2 + 8x + 9 = 0$: $x = -4 \pm \sqrt{7}$.

Решение: $x \in [-4 - \sqrt{7}, -4 + \sqrt{7}]$. С учетом $x < -2$, получаем $x \in [-4 - \sqrt{7}, -2)$.

Случай 2: $-2 \leq x < 3$.

$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$

$|x + 2| = x + 2$

$x^2 - 3(3 - x) + 8 \leq 5(x + 2)$

$x^2 - 2x - 11 \leq 0$

Корни $x^2 - 2x - 11 = 0$: $x = 1 \pm 2\sqrt{3}$.

Решение: $x \in [1 - 2\sqrt{3}, 1 + 2\sqrt{3}]$. С учетом $-2 \leq x < 3$, получаем $x \in [-2, 3)$.

Случай 3: $x \geq 3$.

$|x - 3| = x - 3$

$|x + 2| = x + 2$

$x^2 - 3(x - 3) + 8 \leq 5(x + 2)$

$x^2 - 8x + 7 \leq 0$

Корни $x^2 - 8x + 7 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Решение: $x \in [1, 7]$. С учетом $x \geq 3$, получаем $x \in [3, 7]$.

Объединяем решения всех случаев: $[-4 - \sqrt{7}, -2) \cup [-2, 3) \cup [3, 7]$.

Ответ: $x \in [-4 - \sqrt{7}, 7]$.