Номер 131, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

131. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 100, \\ y - x = 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 1, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 6; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} xy + x^2 = 30, \\ xy + y^2 = -5; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} 2y^2 - 3x^2 = 1, \\ 3x^2 + 2y^2 = 19; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 2xy - x = 9, \\ 2xy + 5y = 22; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} x^2 + 16y^2 = 73, \\ xy = -6. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 + 2xy = 100, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Заметим, что левая часть первого уравнения является полным квадратом суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
Тогда система примет вид:
$ \begin{cases} (x+y)^2 = 100, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Из первого уравнения получаем два возможных случая: $x+y = 10$ или $x+y = -10$.

Случай 1:
$ \begin{cases} x+y = 10, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (y-x) = 10 + 6$, что дает $2y = 16$, откуда $y = 8$.
Подставим $y=8$ во второе уравнение: $8 - x = 6$, откуда $x = 2$.
Первое решение: $(2, 8)$.

Случай 2:
$ \begin{cases} x+y = -10, \\ y - x = 6; \end{cases} $
Сложим два уравнения: $(x+y) + (y-x) = -10 + 6$, что дает $2y = -4$, откуда $y = -2$.
Подставим $y=-2$ во второе уравнение: $-2 - x = 6$, откуда $-x = 8$, то есть $x = -8$.
Второе решение: $(-8, -2)$.
Ответ: $(2, 8), (-8, -2)$.

2) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 4xy + 4y^2 = 1, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 6; \end{cases} $
Левая часть первого уравнения является полным квадратом: $x^2 + 4xy + (2y)^2 = (x+2y)^2$.
Система принимает вид:
$ \begin{cases} (x+2y)^2 = 1, \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 6; \end{cases} $
Из первого уравнения получаем: $x+2y = 1$ или $x+2y = -1$.

Случай 1: $x+2y = 1 \implies x = 1 - 2y$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(1-2y)^2 - 3(1-2y)y + y^2 = 6$
$2(1-4y+4y^2) - 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$2-8y+8y^2 - 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$15y^2 - 11y - 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-11)^2 - 4(15)(-4) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.
$y_{1,2} = \frac{11 \pm 19}{30}$.
$y_1 = \frac{30}{30} = 1$, тогда $x_1 = 1 - 2(1) = -1$.
$y_2 = \frac{-8}{30} = -\frac{4}{15}$, тогда $x_2 = 1 - 2(-\frac{4}{15}) = 1 + \frac{8}{15} = \frac{23}{15}$.
Получили два решения: $(-1, 1)$ и $(\frac{23}{15}, -\frac{4}{15})$.

Случай 2: $x+2y = -1 \implies x = -1 - 2y$.
Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:
$2(-1-2y)^2 - 3(-1-2y)y + y^2 = 6$
$2(1+4y+4y^2) + 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$2+8y+8y^2 + 3y + 6y^2 + y^2 = 6$
$15y^2 + 11y - 4 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 11^2 - 4(15)(-4) = 121 + 240 = 361 = 19^2$.
$y_{3,4} = \frac{-11 \pm 19}{30}$.
$y_3 = \frac{8}{30} = \frac{4}{15}$, тогда $x_3 = -1 - 2(\frac{4}{15}) = -1 - \frac{8}{15} = -\frac{23}{15}$.
$y_4 = \frac{-30}{30} = -1$, тогда $x_4 = -1 - 2(-1) = 1$.
Получили еще два решения: $(-\frac{23}{15}, \frac{4}{15})$ и $(1, -1)$.
Ответ: $(-1, 1), (1, -1), (\frac{23}{15}, -\frac{4}{15}), (-\frac{23}{15}, \frac{4}{15})$.

3) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy + x^2 = 30, \\ xy + y^2 = -5; \end{cases} $
Вычтем второе уравнение из первого:
$(xy + x^2) - (xy + y^2) = 30 - (-5)$
$x^2 - y^2 = 35$
Другой способ: разложим на множители левые части уравнений:
$ \begin{cases} x(y + x) = 30, \\ y(x + y) = -5; \end{cases} $
Поскольку правые части не равны нулю, $x+y \neq 0$. Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{x(x+y)}{y(x+y)} = \frac{30}{-5}$
$\frac{x}{y} = -6 \implies x = -6y$.
Подставим $x = -6y$ в любое из исходных уравнений, например во второе:
$(-6y)y + y^2 = -5$
$-6y^2 + y^2 = -5$
$-5y^2 = -5$
$y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1$.
Если $y_1 = 1$, то $x_1 = -6(1) = -6$.
Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -6(-1) = 6$.
Получили два решения: $(-6, 1)$ и $(6, -1)$.
Ответ: $(-6, 1), (6, -1)$.

4) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2y^2 - 3x^2 = 1, \\ 3x^2 + 2y^2 = 19; \end{cases} $
Это система линейных уравнений относительно $x^2$ и $y^2$. Сложим два уравнения:
$(2y^2 - 3x^2) + (3x^2 + 2y^2) = 1 + 19$
$4y^2 = 20$
$y^2 = 5 \implies y = \pm\sqrt{5}$.
Подставим $y^2 = 5$ во второе уравнение:
$3x^2 + 2(5) = 19$
$3x^2 + 10 = 19$
$3x^2 = 9$
$x^2 = 3 \implies x = \pm\sqrt{3}$.
Комбинируя значения для $x$ и $y$, получаем четыре решения.
Ответ: $(\sqrt{3}, \sqrt{5}), (\sqrt{3}, -\sqrt{5}), (-\sqrt{3}, \sqrt{5}), (-\sqrt{3}, -\sqrt{5})$.

5) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2xy - x = 9, \\ 2xy + 5y = 22; \end{cases} $
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2xy + 5y) - (2xy - x) = 22 - 9$
$5y + x = 13 \implies x = 13 - 5y$.
Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:
$2(13-5y)y - (13-5y) = 9$
$26y - 10y^2 - 13 + 5y = 9$
$-10y^2 + 31y - 13 - 9 = 0$
$-10y^2 + 31y - 22 = 0$
$10y^2 - 31y + 22 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-31)^2 - 4(10)(22) = 961 - 880 = 81 = 9^2$.
$y_{1,2} = \frac{31 \pm 9}{20}$.
$y_1 = \frac{40}{20} = 2$, тогда $x_1 = 13 - 5(2) = 13 - 10 = 3$.
$y_2 = \frac{22}{20} = \frac{11}{10}$, тогда $x_2 = 13 - 5(\frac{11}{10}) = 13 - \frac{11}{2} = \frac{26-11}{2} = \frac{15}{2}$.
Получили два решения.
Ответ: $(3, 2), (\frac{15}{2}, \frac{11}{10})$.

6) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + 16y^2 = 73, \\ xy = -6; \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ (при $x \neq 0$): $y = -\frac{6}{x}$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x^2 + 16(-\frac{6}{x})^2 = 73$
$x^2 + 16(\frac{36}{x^2}) = 73$
$x^2 + \frac{576}{x^2} = 73$
Умножим обе части на $x^2$:
$x^4 + 576 = 73x^2$
$x^4 - 73x^2 + 576 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $a = x^2$, где $a > 0$:
$a^2 - 73a + 576 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = (-73)^2 - 4(1)(576) = 5329 - 2304 = 3025 = 55^2$.
$a_{1,2} = \frac{73 \pm 55}{2}$.
$a_1 = \frac{128}{2} = 64$.
$a_2 = \frac{18}{2} = 9$.
Возвращаемся к замене:
1) $x^2 = 64 \implies x_1 = 8, x_2 = -8$.
Если $x_1 = 8$, то $y_1 = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$.
Если $x_2 = -8$, то $y_2 = -\frac{6}{-8} = \frac{3}{4}$.
2) $x^2 = 9 \implies x_3 = 3, x_4 = -3$.
Если $x_3 = 3$, то $y_3 = -\frac{6}{3} = -2$.
Если $x_4 = -3$, то $y_4 = -\frac{6}{-3} = 2$.
Получили четыре решения.
Ответ: $(8, -3/4), (-8, 3/4), (3, -2), (-3, 2)$.