Номер 135, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Двое рабочих должны были изготовить по 90 деталей. Один из них изготавливал ежедневно на 3 детали больше, чем другой, поэтому выполнил заказ на один день раньше. Сколько деталей в день изготавливал каждый рабочий?

Пусть $x$ — количество деталей, которое изготавливал в день второй рабочий (тот, что работал медленнее). Тогда первый рабочий, который работал быстрее, изготавливал $(x+3)$ детали в день.

Каждый из них должен был изготовить 90 деталей. Время, которое требуется для выполнения всей работы, можно найти по формуле: Время = Объем работы / Производительность.

Время, затраченное вторым (медленным) рабочим, составляет $t_2 = \frac{90}{x}$ дней.

Время, затраченное первым (быстрым) рабочим, составляет $t_1 = \frac{90}{x+3}$ дней.

По условию задачи, первый рабочий выполнил заказ на один день раньше, чем второй. Это означает, что время второго рабочего на 1 день больше времени первого. Составим и решим уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

$\frac{90}{x} - \frac{90}{x+3} = 1$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{90(x+3) - 90x}{x(x+3)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{90x + 270 - 90x}{x^2 + 3x} = 1$

$\frac{270}{x^2 + 3x} = 1$

Теперь умножим обе части на знаменатель $x^2 + 3x$, предполагая, что он не равен нулю (что верно, так как производительность $x$ должна быть положительной):

$270 = x^2 + 3x$

Перенесем все в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 3x - 270 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-270) = 9 + 1080 = 1089$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 33}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 33}{2} = \frac{-36}{2} = -18$

Поскольку $x$ обозначает количество деталей, изготавливаемых в день, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x = -18$ не является решением задачи.

Таким образом, второй (медленный) рабочий изготавливал 15 деталей в день.

Первый (быстрый) рабочий изготавливал на 3 детали больше: $15 + 3 = 18$ деталей в день.

Проверка:
Время работы первого рабочего: $90 / 18 = 5$ дней.
Время работы второго рабочего: $90 / 15 = 6$ дней.
Разница составляет $6 - 5 = 1$ день, что соответствует условию задачи.

Ответ: один рабочий изготавливал 18 деталей в день, а другой — 15 деталей в день.