Номер 137, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. От станции $M$ на станцию $N$, расстояние между которыми равно 240 км, отправились одновременно два поезда. Первый поезд прибыл на станцию $N$ на 48 мин позже второго. Найдите скорость каждого поезда, если известно, что первый поезд за 2 ч проходит на 40 км больше, чем второй за 1 ч, и скорость каждого поезда не превышает 100 км/ч.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого поезда, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго поезда.

Расстояние между станциями $M$ и $N$ равно $S = 240$ км. Время, которое первый поезд затратил на путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{240}{v_1}$ ч. Время, которое второй поезд затратил на путь, равно $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{240}{v_2}$ ч.

По условию, первый поезд прибыл на 48 минут позже второго. Переведем 48 минут в часы: $48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5}$ ч. Так как первый поезд ехал дольше (его скорость меньше), то $t_1 - t_2 = \frac{4}{5}$. Получаем первое уравнение: $$ \frac{240}{v_1} - \frac{240}{v_2} = \frac{4}{5} $$

Также известно, что первый поезд за 2 часа проходит на 40 км больше, чем второй за 1 час. Расстояние, пройденное первым поездом за 2 часа, равно $2 \cdot v_1$ км. Расстояние, пройденное вторым поездом за 1 час, равно $1 \cdot v_2$ км. Получаем второе уравнение: $2v_1 = v_2 + 40$, откуда можно выразить $v_2$: $$ v_2 = 2v_1 - 40 $$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} \frac{240}{v_1} - \frac{240}{v_2} = \frac{4}{5} \\ v_2 = 2v_1 - 40 \end{cases} $$

Подставим выражение для $v_2$ из второго уравнения в первое: $$ \frac{240}{v_1} - \frac{240}{2v_1 - 40} = \frac{4}{5} $$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы упростить его: $$ \frac{60}{v_1} - \frac{60}{2v_1 - 40} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{60}{v_1} - \frac{60}{2(v_1 - 20)} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{60}{v_1} - \frac{30}{v_1 - 20} = \frac{1}{5} $$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(v_1 - 20)$: $$ \frac{60(v_1 - 20) - 30v_1}{v_1(v_1 - 20)} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{60v_1 - 1200 - 30v_1}{v_1^2 - 20v_1} = \frac{1}{5} $$ $$ \frac{30v_1 - 1200}{v_1^2 - 20v_1} = \frac{1}{5} $$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем: $$ 5(30v_1 - 1200) = 1(v_1^2 - 20v_1) $$ $$ 150v_1 - 6000 = v_1^2 - 20v_1 $$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $$ v_1^2 - 20v_1 - 150v_1 + 6000 = 0 $$ $$ v_1^2 - 170v_1 + 6000 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-170)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6000 = 28900 - 24000 = 4900$. Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{4900} = 70$.

Найдем корни уравнения для $v_1$: $v_{1,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{170 + 70}{2} = \frac{240}{2} = 120$. $v_{1,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{170 - 70}{2} = \frac{100}{2} = 50$.

По условию задачи, скорость каждого поезда не превышает 100 км/ч. Первый корень $v_1 = 120$ км/ч не удовлетворяет этому условию ($120 > 100$), поэтому мы его отбрасываем. Второй корень $v_1 = 50$ км/ч удовлетворяет условию ($50 \le 100$). Это скорость первого поезда.

Теперь найдем скорость второго поезда, используя значение $v_1 = 50$ км/ч: $v_2 = 2v_1 - 40 = 2 \cdot 50 - 40 = 100 - 40 = 60$ км/ч. Скорость второго поезда $v_2 = 60$ км/ч также удовлетворяет условию ($60 \le 100$).

Таким образом, мы нашли скорости обоих поездов.

Ответ: скорость первого поезда равна 50 км/ч, скорость второго поезда — 60 км/ч.