Номер 136, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля, и после встречи каждый из них продолжил движение в первоначальном направлении. Первый из них, скорость которого на $15$ км/ч больше скорости второго, прибыл в пункт $A$ через $3$ ч после встречи, а второй в пункт $B$ — через $5$ ч $20$ мин. Найдите скорость, с которой двигался каждый автомобиль. Через какое время после начала движения состоялась их встреча?

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого автомобиля, а $v_2$ км/ч — скорость второго. Пусть $t$ ч — время, которое автомобили двигались до встречи.

По условию, скорость первого автомобиля на 15 км/ч больше скорости второго, значит: $v_1 = v_2 + 15$

Обозначим место встречи буквой C. Тогда расстояние от пункта A до C первый автомобиль (выехавший из B) проехал за 3 часа после встречи, а второй автомобиль (выехавший из A) проехал это же расстояние за время $t$ до встречи. Составим уравнение для расстояния AC: $AC = v_1 \cdot 3 = v_2 \cdot t$

Расстояние от пункта B до C второй автомобиль проехал за 5 ч 20 мин после встречи, а первый автомобиль проехал это же расстояние за время $t$ до встречи. Переведем 5 ч 20 мин в часы: $5$ ч $20$ мин $= 5 + \frac{20}{60}$ ч $= 5 + \frac{1}{3}$ ч $= \frac{16}{3}$ ч. Составим уравнение для расстояния BC: $BC = v_2 \cdot \frac{16}{3} = v_1 \cdot t$

Мы получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} 3v_1 = v_2 t \\ \frac{16}{3}v_2 = v_1 t \end{cases} $

Выразим время $t$ из каждого уравнения: $t = \frac{3v_1}{v_2}$ $t = \frac{16v_2}{3v_1}$

Приравняем правые части уравнений: $\frac{3v_1}{v_2} = \frac{16v_2}{3v_1}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получим: $3v_1 \cdot 3v_1 = v_2 \cdot 16v_2$ $9v_1^2 = 16v_2^2$

Так как скорости являются положительными величинами, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения: $3v_1 = 4v_2$

Теперь у нас есть система из двух простых уравнений для нахождения скоростей: $ \begin{cases} v_1 = v_2 + 15 \\ 3v_1 = 4v_2 \end{cases} $

Подставим выражение для $v_1$ из первого уравнения во второе: $3(v_2 + 15) = 4v_2$ $3v_2 + 45 = 4v_2$ $4v_2 - 3v_2 = 45$ $v_2 = 45$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого автомобиля: $v_1 = v_2 + 15 = 45 + 15 = 60$ км/ч.

Ответ: скорость первого автомобиля – 60 км/ч, скорость второго автомобиля – 45 км/ч.

Чтобы найти время до встречи $t$, подставим найденные значения скоростей в любую из ранее выведенных формул для $t$. Например, в $t = \frac{3v_1}{v_2}$: $t = \frac{3 \cdot 60}{45} = \frac{180}{45} = 4$ ч.

Проверим по второй формуле $t = \frac{16v_2}{3v_1}$: $t = \frac{16 \cdot 45}{3 \cdot 60} = \frac{720}{180} = 4$ ч.

Ответ: встреча состоялась через 4 часа после начала движения.