Номер 129, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} x = 5 - y, \\ y^2 + 4xy = 33; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 8, \\ xy = -20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - 7x = 3, \\ y^2 - 6xy - x^2 = -9; \end{cases}$

4) $\begin{cases} y^2 - xy + x = 2, \\ 5y + x = 12; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4x - 3y = 4, \\ 5y^2 - 16x = 16; \end{cases}$

6) $\begin{cases} 4y + x = 2, \\ (x - 4)(y + 3) = 4. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x = 5 - y \\ y^2 + 4xy = 33 \end{cases}$

Для решения системы используем метод подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$y^2 + 4(5 - y)y = 33$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$y^2 + 20y - 4y^2 = 33$

$-3y^2 + 20y - 33 = 0$

Умножим обе части уравнения на -1, чтобы коэффициент при $y^2$ был положительным:

$3y^2 - 20y + 33 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 33 = 400 - 396 = 4$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{20 + 2}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3}$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{20 - 2}{6} = \frac{18}{6} = 3$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя уравнение $x = 5 - y$.

Для $y_1 = \frac{11}{3}$:

$x_1 = 5 - \frac{11}{3} = \frac{15 - 11}{3} = \frac{4}{3}$

Для $y_2 = 3$:

$x_2 = 5 - 3 = 2$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2; 3)$, $(\frac{4}{3}; \frac{11}{3})$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + y = 8 \\ xy = -20 \end{cases}$

Данная система является симметричной. Согласно теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

Подставим значения из системы в это уравнение:

$t^2 - 8t - 20 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 64 + 80 = 144$

Найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 12}{2} = 10$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 12}{2} = -2$

Корни уравнения $10$ и $-2$ являются значениями для $x$ и $y$. Следовательно, решениями системы являются пары чисел $(10; -2)$ и $(-2; 10)$.

Ответ: $(10; -2)$, $(-2; 10)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - 7x = 3 \\ y^2 - 6xy - x^2 = -9 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения:

$y = 7x + 3$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$(7x+3)^2 - 6x(7x+3) - x^2 = -9$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$(49x^2 + 42x + 9) - (42x^2 + 18x) - x^2 = -9$

$49x^2 + 42x + 9 - 42x^2 - 18x - x^2 = -9$

$6x^2 + 24x + 9 = -9$

$6x^2 + 24x + 18 = 0$

Разделим все члены уравнения на 6:

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = 7x + 3$.

Для $x_1 = -1$:

$y_1 = 7(-1) + 3 = -7 + 3 = -4$

Для $x_2 = -3$:

$y_2 = 7(-3) + 3 = -21 + 3 = -18$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(-1; -4)$, $(-3; -18)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - xy + x = 2 \\ 5y + x = 12 \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 12 - 5y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$y^2 - y(12 - 5y) + (12 - 5y) = 2$

Раскроем скобки и упростим:

$y^2 - 12y + 5y^2 + 12 - 5y = 2$

$6y^2 - 17y + 12 - 2 = 0$

$6y^2 - 17y + 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 10 = 289 - 240 = 49$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{17 + 7}{12} = \frac{24}{12} = 2$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{17 - 7}{12} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 12 - 5y$.

Для $y_1 = 2$:

$x_1 = 12 - 5(2) = 12 - 10 = 2$

Для $y_2 = \frac{5}{6}$:

$x_2 = 12 - 5(\frac{5}{6}) = 12 - \frac{25}{6} = \frac{72 - 25}{6} = \frac{47}{6}$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(2; 2)$, $(\frac{47}{6}; \frac{5}{6})$.

5)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x - 3y = 4 \\ 5y^2 - 16x = 16 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $4x$:

$4x = 3y + 4$

Второе уравнение содержит $16x$, что равно $4 \cdot (4x)$. Подставим в него выражение для $4x$:

$16x = 4(3y + 4) = 12y + 16$

Теперь подставим это во второе уравнение системы:

$5y^2 - (12y + 16) = 16$

$5y^2 - 12y - 16 = 16$

$5y^2 - 12y - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-32) = 144 + 640 = 784$

Так как $\sqrt{784} = 28$, найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 28}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 28}{2 \cdot 5} = \frac{-16}{10} = -\frac{8}{5}$

Найдем соответствующие значения $x$, используя $x = \frac{3y+4}{4}$.

Для $y_1 = 4$:

$x_1 = \frac{3(4)+4}{4} = \frac{12+4}{4} = \frac{16}{4} = 4$

Для $y_2 = -\frac{8}{5}$:

$x_2 = \frac{3(-\frac{8}{5})+4}{4} = \frac{-\frac{24}{5} + \frac{20}{5}}{4} = \frac{-\frac{4}{5}}{4} = -\frac{1}{5}$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(4; 4)$, $(-\frac{1}{5}; -\frac{8}{5})$.

6)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4y + x = 2 \\ (x-4)(y+3) = 4 \end{cases}$

Выразим $x$ из первого уравнения:

$x = 2 - 4y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$((2 - 4y) - 4)(y+3) = 4$

$(-4y - 2)(y+3) = 4$

Раскроем скобки в левой части:

$-4y(y+3) - 2(y+3) = 4$

$-4y^2 - 12y - 2y - 6 = 4$

$-4y^2 - 14y - 10 = 0$

Разделим все члены уравнения на -2 для упрощения:

$2y^2 + 7y + 5 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 49 - 40 = 9$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 3}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ по формуле $x = 2 - 4y$.

Для $y_1 = -1$:

$x_1 = 2 - 4(-1) = 2 + 4 = 6$

Для $y_2 = -\frac{5}{2}$:

$x_2 = 2 - 4(-\frac{5}{2}) = 2 + 10 = 12$

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел.

Ответ: $(6; -1)$, $(12; -\frac{5}{2})$.