Номер 125, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

125. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $x^2 - (a - 4)x - 4a \ge 0;$

2) $x^2 + (2 - 5a)x + 6a^2 - 3a - 3 < 0.$

1)

Решим неравенство $x^2 - (a - 4)x - 4a \ge 0$.

Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (a - 4)x - 4a = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-(a-4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4a) = (a-4)^2 + 16a = a^2 - 8a + 16 + 16a = a^2 + 8a + 16 = (a+4)^2$.

Поскольку $D = (a+4)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{a-4 \pm \sqrt{(a+4)^2}}{2} = \frac{a-4 \pm (a+4)}{2}$.

$x_1 = \frac{a-4 + (a+4)}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

$x_2 = \frac{a-4 - (a+4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $(x-a)(x+4) \ge 0$. Графиком квадратичной функции $y = (x-a)(x+4)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда значение переменной $x$ меньше или равно меньшему корню, либо больше или равно большему корню. Для этого необходимо сравнить корни $a$ и $-4$.

Рассмотрим три случая:

• Если $a < -4$, то $a$ является меньшим корнем. Решением является $x \in (-\infty, a] \cup [-4, \infty)$.
• Если $a = -4$, корни совпадают ($x_1=x_2=-4$). Неравенство принимает вид $(x+4)^2 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$. Решением является $x \in (-\infty, \infty)$.
• Если $a > -4$, то $-4$ является меньшим корнем. Решением является $x \in (-\infty, -4] \cup [a, \infty)$.

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (-\infty, a] \cup [-4, \infty)$; если $a = -4$, то $x \in (-\infty, \infty)$; если $a > -4$, то $x \in (-\infty, -4] \cup [a, \infty)$.

2)

Решим неравенство $x^2 + (2 - 5a)x + 6a^2 - 3a - 3 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (2 - 5a)x + 6a^2 - 3a - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант (относительно $x$):

$D_x = (2-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2 - 3a - 3) = (4 - 20a + 25a^2) - (24a^2 - 12a - 12) = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$.

Поскольку $D_x = (a-4)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(2-5a) \pm \sqrt{(a-4)^2}}{2} = \frac{5a-2 \pm (a-4)}{2}$.

$x_1 = \frac{5a-2 + (a-4)}{2} = \frac{6a-6}{2} = 3a-3$.

$x_2 = \frac{5a-2 - (a-4)}{2} = \frac{4a+2}{2} = 2a+1$.

Неравенство можно переписать в виде $(x - (3a-3))(x - (2a+1)) < 0$. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда значение переменной $x$ находится строго между корнями. Для этого необходимо сравнить корни $3a-3$ и $2a+1$.

Сравним выражения $3a-3$ и $2a+1$. Рассмотрим их разность: $(3a-3) - (2a+1) = a-4$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака этой разности:

• Если $a < 4$, то $a-4 < 0$, следовательно $3a-3 < 2a+1$. Решением является интервал между корнями: $x \in (3a-3, 2a+1)$.
• Если $a = 4$, то $a-4 = 0$, следовательно корни совпадают: $x_1 = x_2 = 3(4)-3=9$. Неравенство принимает вид $(x-9)^2 < 0$, что не имеет действительных решений.
• Если $a > 4$, то $a-4 > 0$, следовательно $3a-3 > 2a+1$. Решением является интервал между корнями: $x \in (2a+1, 3a-3)$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in (3a-3, 2a+1)$; если $a = 4$, то решений нет; если $a > 4$, то $x \in (2a+1, 3a-3)$.