Номер 120, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

120. Найдите, при каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - (a + 5)x + 9 = 0;$

2) $(a - 2)x^2 + 5ax - 3a = 0;$

3) $(6a - 12)x^2 - (6a - 12)x + 5 = 0;$

4) $(a - 3)x^2 - 2(a + 2)x + 2a - 6,5 = 0.$

Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два основных случая:

1. Если уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю), его дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).
2. Если уравнение становится линейным (коэффициент при $x^2$ равен нулю), оно не будет иметь корней, если коэффициент при $x$ также равен нулю, а свободный член отличен от нуля.

1) $x^2 - (a + 5)x + 9 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 и не зависит от $a$. Уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-(a + 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (a + 5)^2 - 36$.

Решим неравенство $D < 0$:

$(a + 5)^2 - 36 < 0$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(a + 5 - 6)(a + 5 + 6) < 0$

$(a - 1)(a + 11) < 0$

Решая это неравенство методом интервалов (корни $a=1$ и $a=-11$), находим, что оно выполняется при $a \in (-11; 1)$.

Ответ: $a \in (-11; 1)$.

2) $(a - 2)x^2 + 5ax - 3a = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a - 2 = 0$, откуда $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x^2 + 5 \cdot 2 \cdot x - 3 \cdot 2 = 0$

$10x - 6 = 0$

$10x = 6$

$x = 0,6$

При $a = 2$ уравнение имеет один корень, значит, это значение нам не подходит.

Случай 2: Уравнение является квадратным ($a \neq 2$).

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

$D = (5a)^2 - 4(a - 2)(-3a) = 25a^2 + 12a(a - 2) = 25a^2 + 12a^2 - 24a = 37a^2 - 24a$.

Решим неравенство $D < 0$:

$37a^2 - 24a < 0$

$a(37a - 24) < 0$

Решая это неравенство методом интервалов (корни $a=0$ и $a=\frac{24}{37}$), получаем $a \in (0; \frac{24}{37})$.

Значение $a=2$ не входит в этот интервал. Объединяя результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (0; \frac{24}{37})$.

3) $(6a - 12)x^2 - (6a - 12)x + 5 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$6a - 12 = 0 \implies a = 2$.

При $a = 2$ уравнение принимает вид:

$0 \cdot x^2 - (6 \cdot 2 - 12) \cdot x + 5 = 0$

$0 \cdot x + 5 = 0$

$5 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, при $a = 2$ уравнение не имеет корней. Значение $a = 2$ является частью решения.

Случай 2: Уравнение является квадратным ($a \neq 2$).

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.

$D = (-(6a - 12))^2 - 4(6a - 12) \cdot 5 = (6a - 12)^2 - 20(6a - 12)$.

Решим неравенство $D < 0$:

$(6a - 12)((6a - 12) - 20) < 0$

$(6a - 12)(6a - 32) < 0$

Корни соответствующего уравнения $(6a - 12)(6a - 32) = 0$ равны $a_1 = 2$ и $a_2 = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем $a \in (2; \frac{16}{3})$.

Объединяем результат из первого случая ($a=2$) и второго случая ($a \in (2; \frac{16}{3})$).

Ответ: $a \in [2; \frac{16}{3})$.

4) $(a - 3)x^2 - 2(a + 2)x + 2a - 6,5 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a - 3 = 0 \implies a = 3$.

Подставим $a = 3$ в уравнение:

$0 \cdot x^2 - 2(3 + 2)x + 2 \cdot 3 - 6,5 = 0$

$-10x + 6 - 6,5 = 0$

$-10x - 0,5 = 0$

$10x = -0,5 \implies x = -0,05$

При $a = 3$ уравнение имеет один корень, значит, это значение нам не подходит.

Случай 2: Уравнение является квадратным ($a \neq 3$).

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать четверть дискриминанта $D/4$.

$D/4 = k^2 - ac = (-(a+2))^2 - (a-3)(2a - 6,5)$.

Решим неравенство $D/4 < 0$:

$(a + 2)^2 - (a - 3)(2a - 6,5) < 0$

$(a^2 + 4a + 4) - (2a^2 - 6,5a - 6a + 19,5) < 0$

$a^2 + 4a + 4 - 2a^2 + 12,5a - 19,5 < 0$

$-a^2 + 16,5a - 15,5 < 0$

Умножим обе части на -2, чтобы избавиться от дробей и изменить знак неравенства:

$2a^2 - 33a + 31 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2a^2 - 33a + 31 = 0$.

$D_a = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 31 = 1089 - 248 = 841 = 29^2$.

$a_1 = \frac{33 - 29}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$a_2 = \frac{33 + 29}{4} = \frac{62}{4} = 15,5$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $2a^2 - 33a + 31 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.

$a \in (-\infty; 1) \cup (15,5; +\infty)$.

Значение $a=3$ не входит в этот диапазон. Итоговый ответ совпадает с решением для второго случая.

Ответ: $a \in (-\infty; 1) \cup (15,5; +\infty)$.