Страница 93 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Решите систему неравенств:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 12 \le 0$.
Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 - 7}{2} = -4$; $x_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2} = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 12$ направлены вверх, решение неравенства $x^2 + x - 12 \le 0$ есть промежуток между корнями: $x \in [-4, 3]$.

Второе неравенство системы $x > 2$ имеет решение $x \in (2, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-4, 3] \cap (2, +\infty)$.
Пересечением является промежуток $(2, 3]$.

Ответ: $(2, 3]$.

2)

Решим первое неравенство системы: $5x^2 - 16x + 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $5x^2 - 16x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 3 = 256 - 60 = 196 = 14^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{16 - 14}{2 \cdot 5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$; $x_2 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 5} = \frac{30}{10} = 3$.
Ветви параболы $y = 5x^2 - 16x + 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $5x^2 - 16x + 3 > 0$ выполняется на промежутках вне корней: $x \in (-\infty, 1/5) \cup (3, +\infty)$.

Второе неравенство системы $x \le 7$ имеет решение $x \in (-\infty, 7]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, 1/5) \cup (3, +\infty)) \cap (-\infty, 7]$.
Пересечением является объединение промежутков $(-\infty, 1/5) \cup (3, 7]$.

Ответ: $(-\infty, 1/5) \cup (3, 7]$.

3)

Решим первое неравенство системы: $10x^2 - 9x + 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $10x^2 - 9x + 2 = 0$.
Дискриминант $D = (-9)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 2 = 81 - 80 = 1$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{9 - 1}{2 \cdot 10} = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{9 + 1}{2 \cdot 10} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы $y = 10x^2 - 9x + 2$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $10x^2 - 9x + 2 \le 0$ есть промежуток $[2/5, 1/2]$.

Решим второе неравенство системы: $14 - 2x \le 0$.
$-2x \le -14$
$x \ge 7$
Решением является промежуток $[7, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[2/5, 1/2] \cap [7, +\infty)$.
Эти промежутки не пересекаются.

Ответ: $\emptyset$.

4)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 20 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 20 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -5$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы $y = x^2 + x - 20$ направлены вверх, поэтому решение неравенства есть промежуток $[-5, 4]$.

Решим второе неравенство системы: $2x + 10 \le 0$.
$2x \le -10$
$x \le -5$
Решением является промежуток $(-\infty, -5]$.

Найдем пересечение решений: $[-5, 4] \cap (-\infty, -5]$.
Пересечением является единственная точка $x = -5$.

Ответ: $\{-5\}$.

5)

Решим первое неравенство системы: $x^2 - 2x - 80 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 80 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - 18}{2} = -8$; $x_2 = \frac{2 + 18}{2} = 10$.
Решение неравенства: $x \in [-8, 10]$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 - 2x - 24 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 24 = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 = 10^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{2 - 10}{2} = -4$; $x_2 = \frac{2 + 10}{2} = 6$.
Решение неравенства: $x \in (-\infty, -4) \cup (6, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-8, 10] \cap ((-\infty, -4) \cup (6, +\infty))$.
Пересечение с промежутком $(-\infty, -4)$ дает $[-8, -4)$.
Пересечение с промежутком $(6, +\infty)$ дает $(6, 10]$.
Объединив эти результаты, получим итоговое решение.

Ответ: $[-8, -4) \cup (6, 10]$.

6)

Решим первое неравенство системы: $2x^2 + 11x - 6 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 11x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = 11^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 121 + 48 = 169 = 13^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-11 - 13}{4} = -6$; $x_2 = \frac{-11 + 13}{4} = \frac{1}{2}$.
Решение неравенства: $x \in [-6, 1/2]$.

Решим второе неравенство системы: $x^2 + 8x \le 0$.
Разложим на множители: $x(x+8) \le 0$.
Корни: $x_1 = 0$, $x_2 = -8$.
Решение неравенства: $x \in [-8, 0]$.

Найдем пересечение решений: $[-6, 1/2] \cap [-8, 0]$.
Пересечением является промежуток $[-6, 0]$.

Ответ: $[-6, 0]$.

119. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 3x - 18 < 0 \\ x \geq -2 \end{cases}$

2) $\begin{cases} 4x^2 - 6x \leq 0 \\ 0,8x - 0,2 > 0 \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + 4x - 32 \leq 0 \\ -8,5 \leq x \leq 0,3 \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} \leq 0 \\ -x^2 + 0,5x + 5 \geq 0 \end{cases}$

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 3x - 18 < 0, \\ x \ge -2. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 + 3x - 18 < 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$. Используя теорему Виета, получаем, что сумма корней $x_1 + x_2 = -3$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -18$. Отсюда корни равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 18$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 + 3x - 18 < 0$ выполняется для значений $x$, находящихся между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-6; 3)$.

Второе неравенство системы $x \ge -2$ определяет промежуток $x \in [-2; +\infty)$.

Для нахождения решения системы найдем пересечение полученных промежутков: $(-6; 3) \cap [-2; +\infty)$. Пересечением является промежуток $[-2; 3)$.

Требуется найти целые решения. Целые числа, принадлежащие промежутку $[-2; 3)$, это: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} 4x^2 - 6x \le 0, \\ 0,8x - 0,2 > 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $4x^2 - 6x \le 0$. Вынесем общий множитель $2x$ за скобки: $2x(2x - 3) \le 0$. Корнями уравнения $2x(2x - 3) = 0$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 6x$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Решение первого неравенства: $x \in [0; 1,5]$.

Решим второе неравенство $0,8x - 0,2 > 0$. Перенесем $-0,2$ в правую часть: $0,8x > 0,2$. Разделим обе части на 0,8: $x > \frac{0,2}{0,8}$, что равносильно $x > \frac{2}{8}$ или $x > \frac{1}{4}$ ($x > 0,25$). Решение второго неравенства: $x \in (0,25; +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[0; 1,5] \cap (0,25; +\infty)$. Пересечением является промежуток $(0,25; 1,5]$.

Единственное целое число, которое принадлежит этому промежутку, — это 1.

Ответ: 1.

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 4x - 32 \le 0, \\ -8,5 \le x \le 0,3. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + 4x - 32 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + 4x - 32 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -32$. Корни равны $x_1 = -8$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 + 4x - 32$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-8; 4]$.

Второе неравенство уже задает промежуток для $x$: $x \in [-8,5; 0,3]$.

Найдем пересечение этих двух промежутков: $[-8; 4] \cap [-8,5; 0,3]$. Общим решением является промежуток $[-8; 0,3]$.

Выберем целые числа из этого промежутка: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Ответ: -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

Рассмотрим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} \le 0, \\ -x^2 + 0,5x + 5 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 + (\sqrt{6} - 4)x - 4\sqrt{6} = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = -(\sqrt{6} - 4) = 4 - \sqrt{6}$ и $x_1 \cdot x_2 = -4\sqrt{6}$. Можно подобрать корни: $x_1 = -\sqrt{6}$ и $x_2 = 4$.

Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $x \in [-\sqrt{6}; 4]$. Поскольку $2 < \sqrt{6} < 3$, то $-\sqrt{6} \approx -2,45$. Таким образом, $x \in [\approx -2,45; 4]$.

Решим второе неравенство $-x^2 + 0,5x + 5 \ge 0$. Умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 0,5x - 5 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 0,5x - 5 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = (-0,5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 0,25 + 20 = 20,25 = 4,5^2$.

Корни равны: $x_1 = \frac{0,5 - 4,5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ и $x_2 = \frac{0,5 + 4,5}{2} = \frac{5}{2} = 2,5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 0,5x - 5$ направлены вверх, поэтому решение неравенства $x^2 - 0,5x - 5 \le 0$ есть промежуток $x \in [-2; 2,5]$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-\sqrt{6}; 4] \cap [-2; 2,5]$. Так как $-\sqrt{6} \approx -2,45$, что меньше -2, то пересечением будет промежуток $[-2; 2,5]$.

Целые числа, принадлежащие этому промежутку: -2, -1, 0, 1, 2.

Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

120. Найдите, при каких значениях $a$ не имеет корней уравнение:

1) $x^2 - (a + 5)x + 9 = 0;$

2) $(a - 2)x^2 + 5ax - 3a = 0;$

3) $(6a - 12)x^2 - (6a - 12)x + 5 = 0;$

4) $(a - 3)x^2 - 2(a + 2)x + 2a - 6,5 = 0.$

Для того чтобы уравнение не имело действительных корней, необходимо рассмотреть два основных случая:

1. Если уравнение является квадратным (коэффициент при $x^2$ не равен нулю), его дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).
2. Если уравнение становится линейным (коэффициент при $x^2$ равен нулю), оно не будет иметь корней, если коэффициент при $x$ также равен нулю, а свободный член отличен от нуля.

1) $x^2 - (a + 5)x + 9 = 0$

Это квадратное уравнение, так как коэффициент при $x^2$ равен 1 и не зависит от $a$. Уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-(a + 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (a + 5)^2 - 36$.

Решим неравенство $D < 0$:

$(a + 5)^2 - 36 < 0$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$(a + 5 - 6)(a + 5 + 6) < 0$

$(a - 1)(a + 11) < 0$

Решая это неравенство методом интервалов (корни $a=1$ и $a=-11$), находим, что оно выполняется при $a \in (-11; 1)$.

Ответ: $a \in (-11; 1)$.

2) $(a - 2)x^2 + 5ax - 3a = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Уравнение является линейным.

Это происходит, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a - 2 = 0$, откуда $a = 2$.

Подставим $a = 2$ в исходное уравнение:

$(2 - 2)x^2 + 5 \cdot 2 \cdot x - 3 \cdot 2 = 0$

$10x - 6 = 0$

$10x = 6$

$x = 0,6$

При $a = 2$ уравнение имеет один корень, значит, это значение нам не подходит.

Случай 2: Уравнение является квадратным ($a \neq 2$).

Уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

$D = (5a)^2 - 4(a - 2)(-3a) = 25a^2 + 12a(a - 2) = 25a^2 + 12a^2 - 24a = 37a^2 - 24a$.

Решим неравенство $D < 0$:

$37a^2 - 24a < 0$

$a(37a - 24) < 0$

Решая это неравенство методом интервалов (корни $a=0$ и $a=\frac{24}{37}$), получаем $a \in (0; \frac{24}{37})$.

Значение $a=2$ не входит в этот интервал. Объединяя результаты, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (0; \frac{24}{37})$.

3) $(6a - 12)x^2 - (6a - 12)x + 5 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$6a - 12 = 0 \implies a = 2$.

При $a = 2$ уравнение принимает вид:

$0 \cdot x^2 - (6 \cdot 2 - 12) \cdot x + 5 = 0$

$0 \cdot x + 5 = 0$

$5 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, при $a = 2$ уравнение не имеет корней. Значение $a = 2$ является частью решения.

Случай 2: Уравнение является квадратным ($a \neq 2$).

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$.

$D = (-(6a - 12))^2 - 4(6a - 12) \cdot 5 = (6a - 12)^2 - 20(6a - 12)$.

Решим неравенство $D < 0$:

$(6a - 12)((6a - 12) - 20) < 0$

$(6a - 12)(6a - 32) < 0$

Корни соответствующего уравнения $(6a - 12)(6a - 32) = 0$ равны $a_1 = 2$ и $a_2 = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$.

Решая неравенство методом интервалов, получаем $a \in (2; \frac{16}{3})$.

Объединяем результат из первого случая ($a=2$) и второго случая ($a \in (2; \frac{16}{3})$).

Ответ: $a \in [2; \frac{16}{3})$.

4) $(a - 3)x^2 - 2(a + 2)x + 2a - 6,5 = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$a - 3 = 0 \implies a = 3$.

Подставим $a = 3$ в уравнение:

$0 \cdot x^2 - 2(3 + 2)x + 2 \cdot 3 - 6,5 = 0$

$-10x + 6 - 6,5 = 0$

$-10x - 0,5 = 0$

$10x = -0,5 \implies x = -0,05$

При $a = 3$ уравнение имеет один корень, значит, это значение нам не подходит.

Случай 2: Уравнение является квадратным ($a \neq 3$).

Уравнение не имеет корней, если $D < 0$. Так как коэффициент при $x$ четный, удобнее использовать четверть дискриминанта $D/4$.

$D/4 = k^2 - ac = (-(a+2))^2 - (a-3)(2a - 6,5)$.

Решим неравенство $D/4 < 0$:

$(a + 2)^2 - (a - 3)(2a - 6,5) < 0$

$(a^2 + 4a + 4) - (2a^2 - 6,5a - 6a + 19,5) < 0$

$a^2 + 4a + 4 - 2a^2 + 12,5a - 19,5 < 0$

$-a^2 + 16,5a - 15,5 < 0$

Умножим обе части на -2, чтобы избавиться от дробей и изменить знак неравенства:

$2a^2 - 33a + 31 > 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $2a^2 - 33a + 31 = 0$.

$D_a = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 31 = 1089 - 248 = 841 = 29^2$.

$a_1 = \frac{33 - 29}{4} = \frac{4}{4} = 1$.

$a_2 = \frac{33 + 29}{4} = \frac{62}{4} = 15,5$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство $2a^2 - 33a + 31 > 0$ выполняется при значениях $a$ вне интервала между корнями.

$a \in (-\infty; 1) \cup (15,5; +\infty)$.

Значение $a=3$ не входит в этот диапазон. Итоговый ответ совпадает с решением для второго случая.

Ответ: $a \in (-\infty; 1) \cup (15,5; +\infty)$.

121. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 3bx + 2b + 5 = 0;$

2) $bx^2 + (7b + 2)x + b = 0;$

3) $(b + 2)x^2 + (3b + 1)x - b - 1 = 0;$

4) $(2b + 10)x^2 - (4b + 8)x + 3b = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня при выполнении двух условий:

1. Уравнение является квадратным, то есть старший коэффициент $a \neq 0$.
2. Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1) $x^2 - 3bx + 2b + 5 = 0$

В данном уравнении коэффициент при $x^2$ равен 1, он не зависит от $b$ и не равен нулю. Следовательно, уравнение всегда является квадратным.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2b + 5) = 9b^2 - 8b - 20$.

Условие наличия двух различных действительных корней — $D > 0$.

$9b^2 - 8b - 20 > 0$.

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $9b^2 - 8b - 20 = 0$.

Дискриминант для этого уравнения (относительно $b$): $D_b = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 64 + 720 = 784 = 28^2$.

Корни: $b_1 = \frac{8 - 28}{2 \cdot 9} = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9}$; $b_2 = \frac{8 + 28}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$.

Парабола $y = 9b^2 - 8b - 20$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $9b^2 - 8b - 20 > 0$ выполняется при значениях $b$ вне интервала между корнями.

$b \in (-\infty; -\frac{10}{9}) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{10}{9}) \cup (2; +\infty)$.

2) $bx^2 + (7b + 2)x + b = 0$

Условие 1: Уравнение должно быть квадратным, значит, коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$b \neq 0$.

Условие 2: Дискриминант $D$ должен быть больше нуля.

$D = (7b + 2)^2 - 4 \cdot b \cdot b = (49b^2 + 28b + 4) - 4b^2 = 45b^2 + 28b + 4$.

Решим неравенство $D > 0$:

$45b^2 + 28b + 4 > 0$.

Найдем корни уравнения $45b^2 + 28b + 4 = 0$.

$D_b = 28^2 - 4 \cdot 45 \cdot 4 = 784 - 720 = 64 = 8^2$.

Корни: $b_1 = \frac{-28 - 8}{2 \cdot 45} = \frac{-36}{90} = -\frac{2}{5}$; $b_2 = \frac{-28 + 8}{2 \cdot 45} = \frac{-20}{90} = -\frac{2}{9}$.

Ветви параболы $y = 45b^2 + 28b + 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; +\infty)$.

Объединяя это решение с условием $b \neq 0$, получаем итоговый результат. Точку $b=0$ необходимо исключить из интервала $(-\frac{2}{9}; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $(b + 2)x^2 + (3b + 1)x - b - 1 = 0$

Условие 1: Уравнение должно быть квадратным.

$b + 2 \neq 0 \implies b \neq -2$.

Условие 2: Дискриминант $D$ должен быть больше нуля.

$D = (3b + 1)^2 - 4(b + 2)(-(b + 1)) = (9b^2 + 6b + 1) + 4(b + 2)(b + 1)$.

$D = 9b^2 + 6b + 1 + 4(b^2 + 3b + 2) = 9b^2 + 6b + 1 + 4b^2 + 12b + 8 = 13b^2 + 18b + 9$.

Решим неравенство $D > 0$:

$13b^2 + 18b + 9 > 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена относительно $b$:

$D_b = 18^2 - 4 \cdot 13 \cdot 9 = 324 - 468 = -144$.

Так как $D_b < 0$ и коэффициент при $b^2$ (равный 13) положителен, то выражение $13b^2 + 18b + 9$ всегда больше нуля при любом действительном $b$.

Таким образом, единственным ограничением для $b$ является условие $b \neq -2$.

Ответ: $b \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

4) $(2b + 10)x^2 - (4b + 8)x + 3b = 0$

Условие 1: Уравнение должно быть квадратным.

$2b + 10 \neq 0 \implies 2(b+5) \neq 0 \implies b \neq -5$.

Условие 2: Дискриминант $D$ должен быть больше нуля.

$D = (-(4b + 8))^2 - 4(2b + 10)(3b) = (4(b + 2))^2 - 12b(2b + 10)$.

$D = 16(b^2 + 4b + 4) - (24b^2 + 120b) = 16b^2 + 64b + 64 - 24b^2 - 120b = -8b^2 - 56b + 64$.

Решим неравенство $D > 0$:

$-8b^2 - 56b + 64 > 0$.

Разделим обе части на -8 и изменим знак неравенства:

$b^2 + 7b - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $b^2 + 7b - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = -8$ и $b_2 = 1$.

Парабола $y = b^2 + 7b - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $b^2 + 7b - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-8 < b < 1$.

Объединяя это решение с условием $b \neq -5$, получаем, что точка $b=-5$ должна быть исключена из интервала $(-8, 1)$.

Ответ: $b \in (-8; -5) \cup (-5; 1)$.

122. Найдите значения $a$, при которых выполняется при всех действительных значениях $x$ неравенство:

1) $x^2 - 2(a - 6)x - 2a^2 - 2a + 33 > 0$;

2) $-\frac{1}{6}x^2 - 4ax - 18a^2 - 24 \le 0$;

3) $ax^2 + 6x + 3a - 6 < 0$;

4) $(a^2 - 1)x^2 + 2(1 - a)x + 2 \ge 0$.

1) $x^2 - 2(a-6)x - 2a^2 - 2a + 33 > 0$
Данное неравенство является квадратным относительно переменной $x$. Графиком функции $y = x^2 - 2(a-6)x - 2a^2 - 2a + 33$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Для того чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях $x$, парабола должна полностью располагаться выше оси абсцисс. Это означает, что квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательность дискриминанта ($D < 0$).
Найдем дискриминант $D$. Удобнее использовать четверть дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$, где $a,b,c$ - коэффициенты квадратного трехчлена.
$b = -2(a-6)$, $c = -2a^2 - 2a + 33$, старший коэффициент равен $1$.
$D_1 = (-(a-6))^2 - 1 \cdot (-2a^2 - 2a + 33) = (a-6)^2 + 2a^2 + 2a - 33$
$D_1 = a^2 - 12a + 36 + 2a^2 + 2a - 33 = 3a^2 - 10a + 3$
Решим неравенство $D_1 < 0$:
$3a^2 - 10a + 3 < 0$
Найдем корни уравнения $3a^2 - 10a + 3 = 0$:
$a = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$
$a_1 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$a_2 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
Так как ветви параболы $y = 3a^2 - 10a + 3$ направлены вверх, неравенство $3a^2 - 10a + 3 < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $\frac{1}{3} < a < 3$.
Ответ: $a \in (\frac{1}{3}; 3)$.

2) $-\frac{1}{6}x^2 - 4ax - 18a^2 - 24 \le 0$
Это квадратное неравенство относительно $x$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{6}$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы $y = -\frac{1}{6}x^2 - 4ax - 18a^2 - 24$ направлены вниз.
Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола должна располагаться не выше оси абсцисс. Это означает, что квадратный трехчлен может иметь не более одного действительного корня (касаться оси или не пересекать ее). Условием для этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$).
Умножим обе части неравенства на $-6$, чтобы избавиться от дроби и сменить знак старшего коэффициента. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 24ax + 108a^2 + 144 \ge 0$
Теперь ветви параболы направлены вверх, и она должна быть не ниже оси абсцисс. Условие остается тем же: $D \le 0$.
Найдем $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (12a)^2 - 1 \cdot (108a^2 + 144) = 144a^2 - 108a^2 - 144 = 36a^2 - 144$
Решим неравенство $D_1 \le 0$:
$36a^2 - 144 \le 0$
$36a^2 \le 144$
$a^2 \le \frac{144}{36}$
$a^2 \le 4$
Это неравенство эквивалентно $-2 \le a \le 2$.
Ответ: $a \in [-2; 2]$.

3) $ax^2 + 6x + 3a - 6 < 0$
Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $a = 0$.
Неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 + 6x + 3 \cdot 0 - 6 < 0$, то есть $6x - 6 < 0$.
$6x < 6 \implies x < 1$.
Это неравенство выполняется не для всех действительных $x$, значит $a=0$ не является решением.
Случай 2: $a \neq 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, график функции $y = ax^2 + 6x + 3a - 6$ (парабола) должен быть полностью расположен ниже оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий:
1. Ветви параболы должны быть направлены вниз, то есть старший коэффициент должен быть отрицательным: $a < 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.
Найдем дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot a \cdot (3a - 6) = 36 - 12a^2 + 24a$
Решим неравенство $D < 0$:
$-12a^2 + 24a + 36 < 0$
Разделим на $-12$ и сменим знак неравенства:
$a^2 - 2a - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $a^2 - 2a - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$.
Так как ветви параболы $y = a^2 - 2a - 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $a < -1$ или $a > 3$.
Теперь объединим оба условия для этого случая: $a < 0$ и ($a < -1$ или $a > 3$).
Пересечением этих условий является промежуток $a < -1$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1)$.

4) $(a^2 - 1)x^2 + 2(1-a)x + 2 \ge 0$
Старший коэффициент $a^2-1$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $a^2 - 1 = 0$.
Это происходит при $a = 1$ или $a = -1$.
Если $a = 1$, неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 + 2(1-1)x + 2 \ge 0$, то есть $2 \ge 0$. Это верно для всех $x$, значит $a=1$ является решением.
Если $a = -1$, неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 + 2(1-(-1))x + 2 \ge 0$, то есть $4x + 2 \ge 0$. Это неравенство ($x \ge -1/2$) выполняется не для всех $x$, значит $a=-1$ не является решением.
Случай 2: $a^2 - 1 \neq 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, парабола $y = (a^2 - 1)x^2 + 2(1-a)x + 2$ должна быть расположена не ниже оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх: $a^2 - 1 > 0$.
2. Парабола может иметь не более одного корня: $D \le 0$.
Решим первое условие: $a^2 - 1 > 0 \implies (a-1)(a+1) > 0 \implies a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.
Найдем дискриминант (используем $D_1$):
$D_1 = (1-a)^2 - (a^2-1) \cdot 2 = (a-1)^2 - 2(a-1)(a+1) = (a-1)((a-1) - 2(a+1)) = (a-1)(a-1-2a-2) = (a-1)(-a-3)$
Решим второе условие $D_1 \le 0$:
$(a-1)(-a-3) \le 0$
$-(a-1)(a+3) \le 0$
$(a-1)(a+3) \ge 0$
Корни $a=1, a=-3$. Ветви параболы $y=(a-1)(a+3)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.
Найдем пересечение решений для обоих условий:
$(a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)) \cap (a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty))$
Пересечение дает $a \in (-\infty; -3] \cup (1; \infty)$.
Итог:
Объединим решения из обоих случаев:
Из случая 1: $a = 1$.
Из случая 2: $a \in (-\infty; -3] \cup (1; \infty)$.
Общее решение: $a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.
Ответ: $a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.

123. При каких значениях m не имеет решений неравенство:

1) $mx^2 - 8mx + 3m + 7 > 0;$

2) $(2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 \le 0?$

1) $mx^2 - 8mx + 3m + 7 > 0$

Неравенство не имеет решений, если для всех действительных значений $x$ выполняется противоположное неравенство:

$mx^2 - 8mx + 3m + 7 \le 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $m = 0$.

При $m = 0$ неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 - 8 \cdot 0 \cdot x + 3 \cdot 0 + 7 \le 0$, то есть $7 \le 0$. Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $m=0$ исходное неравенство $7 > 0$ верно для любого $x$, то есть имеет решения. Значит, $m=0$ не является решением задачи.

Случай 2: $m \ne 0$.

В этом случае левая часть неравенства $mx^2 - 8mx + 3m + 7 \le 0$ является квадратным трехчленом. Чтобы этот трехчлен был неположительным для всех значений $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным, то есть $m < 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вниз.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть неположительным, то есть $D \le 0$. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс или касается ее в одной точке.

Найдем дискриминант $D$. Коэффициенты: $a = m$, $b = -8m$, $c = 3m + 7$.

$D = b^2 - 4ac = (-8m)^2 - 4m(3m + 7) = 64m^2 - 12m^2 - 28m = 52m^2 - 28m$.

Теперь решим систему неравенств:

$\begin{cases} m < 0 \\ 52m^2 - 28m \le 0 \end{cases}$

Решим второе неравенство:

$52m^2 - 28m \le 0$

$4m(13m - 7) \le 0$

Корнями уравнения $4m(13m - 7) = 0$ являются $m_1 = 0$ и $m_2 = \frac{7}{13}$. Так как ветви параболы $y = 52m^2 - 28m$ направлены вверх, неравенство выполняется между корнями (включая их).

Таким образом, решение второго неравенства: $0 \le m \le \frac{7}{13}$.

Теперь найдем решение системы, то есть пересечение множеств решений обоих неравенств:

$\begin{cases} m < 0 \\ 0 \le m \le \frac{7}{13} \end{cases}$

Пересечение этих множеств пусто. Это означает, что не существует таких значений $m$, при которых оба условия выполняются одновременно.

Ответ: Таких значений $m$ не существует.

2) $(2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 \le 0$

Неравенство не имеет решений, если для всех действительных значений $x$ выполняется противоположное неравенство:

$(2m + 1)x^2 + 2(m + 2)x + m + 5,6 > 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

$2m + 1 = 0 \implies m = -0,5$.

При $m = -0,5$ неравенство становится линейным:

$0 \cdot x^2 + 2(-0,5 + 2)x + (-0,5 + 5,6) > 0$

$2(1,5)x + 5,1 > 0$

$3x + 5,1 > 0$

$3x > -5,1 \implies x > -1,7$

Это неравенство выполняется не для всех $x$ (например, не выполняется для $x = -2$). Значит, $m = -0,5$ не является решением задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю ($m \ne -0,5$).

В этом случае левая часть неравенства является квадратным трехчленом. Чтобы этот трехчлен был положителен для всех значений $x$, необходимо выполнение двух условий:

1. Коэффициент при $x^2$ должен быть положительным, то есть $2m + 1 > 0$. Это означает, что ветви параболы направлены вверх.

2. Дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным, то есть $D < 0$. Это означает, что парабола не пересекает ось абсцисс.

Составим и решим систему неравенств.

1. $2m + 1 > 0 \implies 2m > -1 \implies m > -0,5$.

2. Найдем дискриминант $D$. Удобнее использовать "деленный на 4" дискриминант $D/4 = k^2 - ac$, где $k = m+2$.

$a = 2m + 1$, $k = m + 2$, $c = m + 5,6$.

$D/4 = (m + 2)^2 - (2m + 1)(m + 5,6) < 0$

$(m^2 + 4m + 4) - (2m^2 + 11,2m + m + 5,6) < 0$

$m^2 + 4m + 4 - 2m^2 - 12,2m - 5,6 < 0$

$-m^2 - 8,2m - 1,6 < 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$m^2 + 8,2m + 1,6 > 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $m^2 + 8,2m + 1,6 = 0$. Для удобства умножим на 10: $10m^2 + 82m + 16 = 0$, или, разделив на 2: $5m^2 + 41m + 8 = 0$.

$D_m = 41^2 - 4 \cdot 5 \cdot 8 = 1681 - 160 = 1521 = 39^2$.

$m_1 = \frac{-41 - 39}{2 \cdot 5} = \frac{-80}{10} = -8$.

$m_2 = \frac{-41 + 39}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0,2$.

Так как ветви параболы $y = m^2 + 8,2m + 1,6$ направлены вверх, неравенство $m^2 + 8,2m + 1,6 > 0$ выполняется при значениях $m$ вне интервала между корнями:

$m < -8$ или $m > -0,2$.

Теперь объединим оба условия в систему:

$\begin{cases} m > -0,5 \\ m \in (-\infty, -8) \cup (-0,2, +\infty) \end{cases}$

Находя пересечение этих множеств, получаем, что $m$ должно быть больше $-0,5$ и одновременно больше $-0,2$. Следовательно, итоговое решение:

$m > -0,2$.

Ответ: $m \in (-0,2; +\infty)$.