Номер 122, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

122. Найдите значения $a$, при которых выполняется при всех действительных значениях $x$ неравенство:

1) $x^2 - 2(a - 6)x - 2a^2 - 2a + 33 > 0$;

2) $-\frac{1}{6}x^2 - 4ax - 18a^2 - 24 \le 0$;

3) $ax^2 + 6x + 3a - 6 < 0$;

4) $(a^2 - 1)x^2 + 2(1 - a)x + 2 \ge 0$.

1) $x^2 - 2(a-6)x - 2a^2 - 2a + 33 > 0$
Данное неравенство является квадратным относительно переменной $x$. Графиком функции $y = x^2 - 2(a-6)x - 2a^2 - 2a + 33$ является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $1$, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.
Для того чтобы неравенство выполнялось при всех действительных значениях $x$, парабола должна полностью располагаться выше оси абсцисс. Это означает, что квадратный трехчлен не должен иметь действительных корней. Условием отсутствия действительных корней является отрицательность дискриминанта ($D < 0$).
Найдем дискриминант $D$. Удобнее использовать четверть дискриминанта $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$, где $a,b,c$ - коэффициенты квадратного трехчлена.
$b = -2(a-6)$, $c = -2a^2 - 2a + 33$, старший коэффициент равен $1$.
$D_1 = (-(a-6))^2 - 1 \cdot (-2a^2 - 2a + 33) = (a-6)^2 + 2a^2 + 2a - 33$
$D_1 = a^2 - 12a + 36 + 2a^2 + 2a - 33 = 3a^2 - 10a + 3$
Решим неравенство $D_1 < 0$:
$3a^2 - 10a + 3 < 0$
Найдем корни уравнения $3a^2 - 10a + 3 = 0$:
$a = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm \sqrt{64}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$
$a_1 = \frac{10-8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$a_2 = \frac{10+8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
Так как ветви параболы $y = 3a^2 - 10a + 3$ направлены вверх, неравенство $3a^2 - 10a + 3 < 0$ выполняется между корнями.
Следовательно, $\frac{1}{3} < a < 3$.
Ответ: $a \in (\frac{1}{3}; 3)$.

2) $-\frac{1}{6}x^2 - 4ax - 18a^2 - 24 \le 0$
Это квадратное неравенство относительно $x$. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{6}$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы $y = -\frac{1}{6}x^2 - 4ax - 18a^2 - 24$ направлены вниз.
Чтобы неравенство выполнялось для всех $x$, парабола должна располагаться не выше оси абсцисс. Это означает, что квадратный трехчлен может иметь не более одного действительного корня (касаться оси или не пересекать ее). Условием для этого является неположительность дискриминанта ($D \le 0$).
Умножим обе части неравенства на $-6$, чтобы избавиться от дроби и сменить знак старшего коэффициента. При этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 + 24ax + 108a^2 + 144 \ge 0$
Теперь ветви параболы направлены вверх, и она должна быть не ниже оси абсцисс. Условие остается тем же: $D \le 0$.
Найдем $D_1 = (\frac{b}{2})^2 - ac$:
$D_1 = (12a)^2 - 1 \cdot (108a^2 + 144) = 144a^2 - 108a^2 - 144 = 36a^2 - 144$
Решим неравенство $D_1 \le 0$:
$36a^2 - 144 \le 0$
$36a^2 \le 144$
$a^2 \le \frac{144}{36}$
$a^2 \le 4$
Это неравенство эквивалентно $-2 \le a \le 2$.
Ответ: $a \in [-2; 2]$.

3) $ax^2 + 6x + 3a - 6 < 0$
Коэффициент при $x^2$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $a = 0$.
Неравенство становится линейным: $0 \cdot x^2 + 6x + 3 \cdot 0 - 6 < 0$, то есть $6x - 6 < 0$.
$6x < 6 \implies x < 1$.
Это неравенство выполняется не для всех действительных $x$, значит $a=0$ не является решением.
Случай 2: $a \neq 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, график функции $y = ax^2 + 6x + 3a - 6$ (парабола) должен быть полностью расположен ниже оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий:
1. Ветви параболы должны быть направлены вниз, то есть старший коэффициент должен быть отрицательным: $a < 0$.
2. Парабола не должна пересекать ось абсцисс, то есть дискриминант должен быть отрицательным: $D < 0$.
Найдем дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot a \cdot (3a - 6) = 36 - 12a^2 + 24a$
Решим неравенство $D < 0$:
$-12a^2 + 24a + 36 < 0$
Разделим на $-12$ и сменим знак неравенства:
$a^2 - 2a - 3 > 0$
Найдем корни уравнения $a^2 - 2a - 3 = 0$. По теореме Виета, корни $a_1 = 3$ и $a_2 = -1$.
Так как ветви параболы $y = a^2 - 2a - 3$ направлены вверх, неравенство выполняется при $a < -1$ или $a > 3$.
Теперь объединим оба условия для этого случая: $a < 0$ и ($a < -1$ или $a > 3$).
Пересечением этих условий является промежуток $a < -1$.
Ответ: $a \in (-\infty; -1)$.

4) $(a^2 - 1)x^2 + 2(1-a)x + 2 \ge 0$
Старший коэффициент $a^2-1$ зависит от параметра $a$. Рассмотрим два случая.
Случай 1: $a^2 - 1 = 0$.
Это происходит при $a = 1$ или $a = -1$.
Если $a = 1$, неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 + 2(1-1)x + 2 \ge 0$, то есть $2 \ge 0$. Это верно для всех $x$, значит $a=1$ является решением.
Если $a = -1$, неравенство принимает вид: $0 \cdot x^2 + 2(1-(-1))x + 2 \ge 0$, то есть $4x + 2 \ge 0$. Это неравенство ($x \ge -1/2$) выполняется не для всех $x$, значит $a=-1$ не является решением.
Случай 2: $a^2 - 1 \neq 0$.
Неравенство является квадратным. Чтобы оно выполнялось для всех $x$, парабола $y = (a^2 - 1)x^2 + 2(1-a)x + 2$ должна быть расположена не ниже оси абсцисс. Для этого необходимо выполнение двух условий:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх: $a^2 - 1 > 0$.
2. Парабола может иметь не более одного корня: $D \le 0$.
Решим первое условие: $a^2 - 1 > 0 \implies (a-1)(a+1) > 0 \implies a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)$.
Найдем дискриминант (используем $D_1$):
$D_1 = (1-a)^2 - (a^2-1) \cdot 2 = (a-1)^2 - 2(a-1)(a+1) = (a-1)((a-1) - 2(a+1)) = (a-1)(a-1-2a-2) = (a-1)(-a-3)$
Решим второе условие $D_1 \le 0$:
$(a-1)(-a-3) \le 0$
$-(a-1)(a+3) \le 0$
$(a-1)(a+3) \ge 0$
Корни $a=1, a=-3$. Ветви параболы $y=(a-1)(a+3)$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.
Найдем пересечение решений для обоих условий:
$(a \in (-\infty; -1) \cup (1; \infty)) \cap (a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty))$
Пересечение дает $a \in (-\infty; -3] \cup (1; \infty)$.
Итог:
Объединим решения из обоих случаев:
Из случая 1: $a = 1$.
Из случая 2: $a \in (-\infty; -3] \cup (1; \infty)$.
Общее решение: $a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.
Ответ: $a \in (-\infty; -3] \cup [1; \infty)$.