Номер 115, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

115. Найдите множество решений неравенства:

1) $(2x + 1)(x - 4) \le 5;$

2) $(x - 4)^2 + 12 \ge (3x - 2)^2;$

3) $\frac{x^2 - 9}{5} - \frac{x + 1}{4} \ge \frac{x - 5}{2};$

4) $\frac{x^2 + x}{8} - \frac{3 - x}{3} < \frac{2x^2 + 5}{5} - 2.$

1) Исходное неравенство: $(2x + 1)(x - 4) \leq 5$.
Раскроем скобки в левой части:
$2x^2 - 8x + x - 4 \leq 5$
$2x^2 - 7x - 4 \leq 5$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство:
$2x^2 - 7x - 4 - 5 \leq 0$
$2x^2 - 7x - 9 \leq 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 9 = 0$ с помощью дискриминанта.
$a = 2$, $b = -7$, $c = -9$
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-9) = 49 + 72 = 121 = 11^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 11}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 11}{2 \cdot 2} = \frac{18}{4} = 4.5$
Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=2 > 0$), ветви параболы $y = 2x^2 - 7x - 9$ направлены вверх. Следовательно, неравенство $2x^2 - 7x - 9 \leq 0$ выполняется между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-1; 4.5]$.
Ответ: $[-1; 4.5]$.

2) Исходное неравенство: $(x - 4)^2 + 12 \geq (3x - 2)^2$.
Раскроем скобки, используя формулы квадрата разности:
$(x^2 - 8x + 16) + 12 \geq (9x^2 - 12x + 4)$
$x^2 - 8x + 28 \geq 9x^2 - 12x + 4$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 \geq 9x^2 - x^2 - 12x + 8x + 4 - 28$
$0 \geq 8x^2 - 4x - 24$
Разделим обе части на 4 (знак неравенства не меняется):
$0 \geq 2x^2 - x - 6$, или $2x^2 - x - 6 \leq 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$.
$a = 2$, $b = -1$, $c = -6$
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 = 7^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1.5$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
Ветви параболы $y = 2x^2 - x - 6$ направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому неравенство $2x^2 - x - 6 \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями.
Решение: $x \in [-1.5; 2]$.
Ответ: $[-1.5; 2]$.

3) Исходное неравенство: $\frac{x^2 - 9}{5} - \frac{x + 1}{4} \geq \frac{x - 5}{2}$.
Найдем наименьший общий знаменатель дробей: НОК(5, 4, 2) = 20. Умножим обе части неравенства на 20, чтобы избавиться от дробей:
$20 \cdot \frac{x^2 - 9}{5} - 20 \cdot \frac{x + 1}{4} \geq 20 \cdot \frac{x - 5}{2}$
$4(x^2 - 9) - 5(x + 1) \geq 10(x - 5)$
Раскроем скобки:
$4x^2 - 36 - 5x - 5 \geq 10x - 50$
$4x^2 - 5x - 41 \geq 10x - 50$
Перенесем все члены в левую часть:
$4x^2 - 5x - 10x - 41 + 50 \geq 0$
$4x^2 - 15x + 9 \geq 0$
Найдем корни уравнения $4x^2 - 15x + 9 = 0$.
$a = 4$, $b = -15$, $c = 9$
$D = b^2 - 4ac = (-15)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 225 - 144 = 81 = 9^2$
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{24}{8} = 3$
Ветви параболы $y = 4x^2 - 15x + 9$ направлены вверх ($a=4 > 0$), поэтому неравенство $4x^2 - 15x + 9 \geq 0$ выполняется при значениях $x$ вне отрезка между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; \frac{3}{4}] \cup [3; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; \frac{3}{4}] \cup [3; +\infty)$.

4) Исходное неравенство: $\frac{x^2 + x}{8} - \frac{3 - x}{3} < \frac{2x^2 + 5}{5} - 2$.
Найдем наименьший общий знаменатель: НОК(8, 3, 5) = 120. Умножим обе части неравенства на 120:
$120 \cdot \frac{x^2 + x}{8} - 120 \cdot \frac{3 - x}{3} < 120 \cdot \frac{2x^2 + 5}{5} - 120 \cdot 2$
$15(x^2 + x) - 40(3 - x) < 24(2x^2 + 5) - 240$
Раскроем скобки:
$15x^2 + 15x - 120 + 40x < 48x^2 + 120 - 240$
$15x^2 + 55x - 120 < 48x^2 - 120$
Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены в левую:
$-120 + 120 < 48x^2 - 15x^2 - 55x$
$0 < 33x^2 - 55x$
$33x^2 - 55x > 0$
Вынесем общий множитель $11x$ за скобки:
$11x(3x - 5) > 0$
Найдем корни уравнения $11x(3x - 5) = 0$.
$11x = 0 \implies x_1 = 0$
$3x - 5 = 0 \implies 3x = 5 \implies x_2 = \frac{5}{3}$
Ветви параболы $y = 33x^2 - 55x$ направлены вверх ($a=33 > 0$), поэтому неравенство $33x^2 - 55x > 0$ выполняется при значениях $x$ вне интервала между корнями.
Решение: $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.
Ответ: $(-\infty; 0) \cup (\frac{5}{3}; +\infty)$.