Номер 116, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Найдите целые решения неравенства:

1) $x^2 - 7x \le 0$;

2) $x^2 - 20 < 0$;

3) $-8x^2 + 13x + 6 \ge 0$;

4) $12x^2 - 13x + 3 \le 0$;

5) $-\frac{1}{2}x^2 + x + 24 > 0$;

6) $x^2 - 4,6x - 2 \le 0$.

1) Решим неравенство $x^2 - 7x \le 0$.
Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 7x = 0$.
$x(x - 7) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 7$.
Графиком функции $y = x^2 - 7x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [0, 7]$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

2) Решим неравенство $x^2 - 20 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 20 = 0$.
$x^2 = 20 \Rightarrow x = \pm\sqrt{20} = \pm2\sqrt{5}$.
Графиком функции $y = x^2 - 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-2\sqrt{5}, 2\sqrt{5})$.
Оценим значение $2\sqrt{5} = \sqrt{20}$. Так как $4^2 = 16$ и $5^2 = 25$, то $4 < \sqrt{20} < 5$. Более точно, $\sqrt{20} \approx 4.47$.
Таким образом, искомый интервал примерно $(-4.47, 4.47)$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.

3) Решим неравенство $-8x^2 + 13x + 6 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $-8x^2 + 13x + 6 = 0$. Умножим на -1 для удобства: $8x^2 - 13x - 6 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-6) = 169 + 192 = 361 = 19^2$.
$x_1 = \frac{13 - 19}{2 \cdot 8} = \frac{-6}{16} = -\frac{3}{8}$.
$x_2 = \frac{13 + 19}{2 \cdot 8} = \frac{32}{16} = 2$.
Графиком функции $y = -8x^2 + 13x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Значения функции не отрицательны (больше или равны нулю) на промежутке между корнями, включая сами корни.
Решение неравенства: $x \in [-\frac{3}{8}, 2]$.
Так как $-\frac{3}{8} = -0.375$, то целые решения, принадлежащие этому промежутку: 0, 1, 2.
Ответ: 0, 1, 2.

4) Решим неравенство $12x^2 - 13x + 3 \le 0$.
Найдем корни уравнения $12x^2 - 13x + 3 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 12 \cdot 3 = 169 - 144 = 25 = 5^2$.
$x_1 = \frac{13 - 5}{2 \cdot 12} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{13 + 5}{2 \cdot 12} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4}$.
Графиком функции $y = 12x^2 - 13x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$.
В этом промежутке нет целых чисел.
Ответ: нет целых решений.

5) Решим неравенство $-\frac{1}{2}x^2 + x + 24 > 0$.
Умножим обе части на -2 и сменим знак неравенства: $x^2 - 2x - 48 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$.
По теореме Виета, корни $x_1 = -6$ и $x_2 = 8$.
Графиком функции $y = x^2 - 2x - 48$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции отрицательны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-6, 8)$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Ответ: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

6) Решим неравенство $x^2 - 4.6x - 2 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 4.6x - 2 = 0$.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4.6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 21.16 + 8 = 29.16$.
$\sqrt{D} = \sqrt{29.16} = 5.4$.
$x_1 = \frac{4.6 - 5.4}{2} = \frac{-0.8}{2} = -0.4$.
$x_2 = \frac{4.6 + 5.4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Графиком функции $y = x^2 - 4.6x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны на промежутке между корнями.
Решение неравенства: $x \in [-0.4, 5]$.
Целые решения, принадлежащие этому промежутку: 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Ответ: 0, 1, 2, 3, 4, 5.