Номер 111, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

111. Постройте график функции:

1) $y = \frac{|x|}{x} \left( \frac{1}{4} x^2 - x - 3 \right);$

2) $y = x^2 + 2|x| - 8;$

3) $y = x^2 + 8x \frac{x-3}{|x-3|} - 9;$

4) $y = x^2 + 3|x-1| - x + 3.$

Рассмотрим функцию $y = \frac{|x|}{x} \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right)$.

Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0$.

Выражение $\frac{|x|}{x}$ является функцией знака (signum): $ \frac{|x|}{x} = \begin{cases} 1, & \text{если } x > 0 \\ -1, & \text{если } x < 0 \end{cases} $

Разобьем построение графика на два случая.

Случай 1: $x > 0$
При $x > 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = 1 \cdot \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right) = \frac{1}{4}x^2 - x - 3$. Это график параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-1}{2 \cdot (1/4)} = \frac{1}{1/2} = 2$. $y_0 = \frac{1}{4}(2)^2 - 2 - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Вершина находится в точке $(2, -4)$, что удовлетворяет условию $x > 0$. Найдем нули функции: $\frac{1}{4}x^2 - x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только корень $x=6$. Поскольку функция не определена в $x=0$, найдем предел при $x \to 0^+$: $\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right) = -3$. На графике будет выколотая точка $(0, -3)$.

Случай 2: $x < 0$
При $x < 0$, $|x| = -x$, и функция принимает вид: $y = -1 \cdot \left(\frac{1}{4}x^2 - x - 3\right) = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$. Это график параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-1/4)} = \frac{1}{1/2} = 2$. Вершина $(2, 4)$ не принадлежит рассматриваемому промежутку $x < 0$. Нули функции: $-\frac{1}{4}x^2 + x + 3 = 0 \implies x^2 - 4x - 12 = 0$. Корни те же: $x_1 = 6$ и $x_2 = -2$. Условию $x < 0$ удовлетворяет корень $x=-2$. Найдем предел при $x \to 0^-$: $\lim_{x \to 0^-} \left(-\frac{1}{4}x^2 + x + 3\right) = 3$. На графике будет выколотая точка $(0, 3)$.

Построение графика:
1. Для $x > 0$ строим часть параболы $y = \frac{1}{4}x^2 - x - 3$ с вершиной в $(2, -4)$ и пересечением оси Ox в точке $(6, 0)$. В точке $x=0$ отмечаем выколотую точку $(0, -3)$.
2. Для $x < 0$ строим часть параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$, которая пересекает ось Ox в точке $(-2, 0)$. В точке $x=0$ отмечаем выколотую точку $(0, 3)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. На интервале $(-\infty; 0)$ это часть параболы $y = -\frac{1}{4}x^2 + x + 3$. На интервале $(0; +\infty)$ это часть параболы $y = \frac{1}{4}x^2 - x - 3$. В точке $x=0$ функция имеет разрыв с выколотыми точками $(0, 3)$ и $(0, -3)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 2|x| - 8$.

Так как $x^2 = |x|^2$, функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 + 2|x| - 8$. Это четная функция, так как $y(-x) = (-x)^2 + 2|-x| - 8 = x^2 + 2|x| - 8 = y(x)$. Следовательно, ее график симметричен относительно оси Oy. Мы можем построить график для $x \ge 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси Oy.

Случай 1: $x \ge 0$
При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид: $y = x^2 + 2x - 8$. Это парабола с ветвями вверх. Найдем координаты вершины: $x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$. Вершина не принадлежит промежутку $x \ge 0$. На этом промежутке функция возрастает. Найдем точку пересечения с осью Oy (она же будет точкой излома): при $x=0$, $y = 0^2 + 2(0) - 8 = -8$. Точка $(0, -8)$. Найдем точку пересечения с осью Ox: $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет $x=2$. Точка $(2, 0)$.

Построение графика:
1. Для $x \ge 0$ строим часть параболы $y = x^2 + 2x - 8$. Она начинается в точке $(0, -8)$ и проходит через точку $(2, 0)$.
2. Так как функция четная, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси Oy. Получим вторую часть графика, которая проходит через точку $(-2, 0)$ и также приходит в точку $(0, -8)$. Эта часть соответствует функции $y = x^2 - 2x - 8$ для $x < 0$.

Ответ: График функции симметричен относительно оси Oy. Он состоит из двух ветвей парабол, соединенных в точке $(0, -8)$, которая является точкой минимума и точкой излома. График пересекает ось Ox в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 8x \frac{x-3}{|x-3|} - 9$.

Область определения функции (ОДЗ): $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Выражение $\frac{x-3}{|x-3|}$ равно $1$ при $x > 3$ и $-1$ при $x < 3$. Рассмотрим эти два случая.

Случай 1: $x > 3$
Функция принимает вид: $y = x^2 + 8x(1) - 9 = x^2 + 8x - 9$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{8}{2} = -4$, что не входит в промежуток $x > 3$. На этом промежутке функция возрастает. Найдем значение на границе: при $x \to 3^+$, $y \to 3^2 + 8(3) - 9 = 9 + 24 - 9 = 24$. Имеем выколотую точку $(3, 24)$.

Случай 2: $x < 3$
Функция принимает вид: $y = x^2 + 8x(-1) - 9 = x^2 - 8x - 9$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{-8}{2} = 4$, что не входит в промежуток $x < 3$. На этом промежутке функция убывает. Найдем нули функции: $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$. Условию $x < 3$ удовлетворяет $x=-1$. Точка пересечения с Ox: $(-1, 0)$. Пересечение с Oy: при $x=0$, $y = -9$. Точка $(0, -9)$. Найдем значение на границе: при $x \to 3^-$, $y \to 3^2 - 8(3) - 9 = 9 - 24 - 9 = -24$. Имеем выколотую точку $(3, -24)$.

Построение графика:
1. Для $x < 3$ строим часть параболы $y = x^2 - 8x - 9$. Она проходит через точки $(-1, 0)$ и $(0, -9)$ и заканчивается выколотой точкой $(3, -24)$.
2. Для $x > 3$ строим часть параболы $y = x^2 + 8x - 9$. Она начинается с выколотой точки $(3, 24)$ и идет вверх.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол и имеет разрыв в точке $x=3$. Для $x < 3$ это часть параболы $y = x^2 - 8x - 9$ с выколотой точкой $(3, -24)$. Для $x > 3$ это часть параболы $y = x^2 + 8x - 9$ с выколотой точкой $(3, 24)$.

Рассмотрим функцию $y = x^2 + 3|x-1| - x + 3$.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая в зависимости от знака выражения $x-1$.

Случай 1: $x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$
При $x \ge 1$, $|x-1| = x-1$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3(x-1) - x + 3 = x^2 + 3x - 3 - x + 3 = x^2 + 2x$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{2}{2} = -1$, что не входит в промежуток $x \ge 1$. На этом промежутке функция возрастает. Найдем значение в граничной точке: при $x=1$, $y = 1^2 + 2(1) = 3$. Точка "стыка" графиков - $(1, 3)$.

Случай 2: $x - 1 < 0 \implies x < 1$
При $x < 1$, $|x-1| = -(x-1) = 1-x$. Функция принимает вид: $y = x^2 + 3(1-x) - x + 3 = x^2 - 3x + 3 - x + 3 = x^2 - 4x + 6$. Это парабола с ветвями вверх. Вершина в точке $x_0 = -\frac{-4}{2} = 2$, что не входит в промежуток $x < 1$. На этом промежутке функция убывает. Найдем значение в граничной точке: при $x \to 1^-$, $y \to 1^2 - 4(1) + 6 = 3$. Точка "стыка" та же: $(1, 3)$. Найдем пересечение с осью Oy: при $x=0$, $y=0^2 - 4(0) + 6 = 6$. Точка $(0, 6)$.

Построение графика:
1. Для $x < 1$ строим часть параболы $y = x^2 - 4x + 6$. Она проходит через точку $(0, 6)$ и опускается до точки $(1, 3)$.
2. Для $x \ge 1$ строим часть параболы $y = x^2 + 2x$. Она начинается в точке $(1, 3)$ и идет вверх. В точке $(1, 3)$ происходит излом графика, и это точка глобального минимума функции.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную кривую, состоящую из двух частей парабол, соединенных в точке $(1, 3)$. Для $x < 1$ это часть параболы $y = x^2 - 4x + 6$, для $x \ge 1$ это часть параболы $y = x^2 + 2x$. Точка $(1, 3)$ является точкой минимума и точкой излома.