Номер 107, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

107. При каких значениях $a$ функция $y = (a-1)x^2 + 10x + 1$ принимает неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a-1)x^2 + 10x + 1$ принимала неотрицательные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы неравенство $(a-1)x^2 + 10x + 1 \ge 0$ выполнялось для любого действительного $x$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1. Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Пусть $a-1 = 0$, то есть $a = 1$. В этом случае функция становится линейной: $y = 10x + 1$. Неравенство $10x + 1 \ge 0$ не выполняется для всех действительных $x$. Например, при $x = -1$, значение функции $y = -9$, что является отрицательным числом. Следовательно, значение $a = 1$ не является решением.

Случай 2. Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Пусть $a-1 \ne 0$. В этом случае функция является квадратичной, и её график — парабола. Для того чтобы значения функции были всегда неотрицательными ($y \ge 0$), парабола должна быть расположена не ниже оси абсцисс. Это возможно при одновременном выполнении двух условий:

1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Для этого коэффициент при $x^2$ должен быть положительным:
$a-1 > 0 \implies a > 1$.

2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью абсцисс (то есть касаться её или не пересекать). Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного трехчлена должен быть неположительным: $D \le 0$.
Вычислим дискриминант:
$D = 10^2 - 4 \cdot (a-1) \cdot 1 = 100 - 4(a-1)$.
Решим неравенство $D \le 0$:
$100 - 4(a-1) \le 0$
$100 \le 4(a-1)$
$25 \le a-1$
$a \ge 26$.

Для нахождения искомых значений $a$ необходимо, чтобы оба условия выполнялись одновременно. Составим систему неравенств:
$\begin{cases} a > 1 \\ a \ge 26 \end{cases}$
Решением этой системы является неравенство $a \ge 26$.

Ответ: $a \ge 26$.