Номер 104, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

104. При каком значении $a$ график квадратичной функции $y = ax^2 + (a-4)x - 4,5$ имеет с осью абсцисс одну общую точку?

График функции $y = ax^2 + (a-4)x - 4,5$ имеет с осью абсцисс одну общую точку, если уравнение $ax^2 + (a-4)x - 4,5 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Необходимо рассмотреть два возможных случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Случай, когда $a \neq 0$.

В этом случае функция является квадратичной. Квадратное уравнение имеет один корень тогда и только тогда, когда его дискриминант ($D$) равен нулю. Найдем дискриминант для уравнения $ax^2 + (a-4)x - 4,5 = 0$. Коэффициенты уравнения: $A=a$, $B=a-4$, $C=-4,5$.

$D = B^2 - 4AC = (a-4)^2 - 4 \cdot a \cdot (-4,5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$D = (a^2 - 8a + 16) + 18a = a^2 + 10a + 16$

Теперь приравняем дискриминант к нулю и решим полученное квадратное уравнение относительно $a$:

$a^2 + 10a + 16 = 0$

По теореме Виета, сумма корней этого уравнения равна -10, а их произведение равно 16. Легко подобрать корни: $a_1 = -8$ и $a_2 = -2$.

Оба найденных значения удовлетворяют условию $a \neq 0$, следовательно, они являются решениями задачи.

2. Случай, когда $a = 0$.

Если коэффициент при $x^2$ равен нулю, то функция перестает быть квадратичной и становится линейной. Подставим $a=0$ в исходное уравнение функции:

$y = 0 \cdot x^2 + (0-4)x - 4,5 = -4x - 4,5$

Графиком этой функции является прямая линия. Линейная функция имеет ровно одну точку пересечения с осью абсцисс, если ее угловой коэффициент не равен нулю. В нашем случае угловой коэффициент равен -4, что не равно нулю. Это означает, что прямая не параллельна оси абсцисс и пересекает ее ровно в одной точке. Таким образом, значение $a=0$ также является решением.

Объединив решения из обоих случаев, получаем все возможные значения параметра $a$.

Ответ: $a \in \{-8, -2, 0\}$.