Номер 106, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. При каких значениях $a$ функция $y = (a+5)x^2 - 4x + 2$ принимает отрицательные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a+5)x^2 - 4x + 2$ принимала отрицательные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы график этой функции (парабола) полностью находился ниже оси абсцисс.

Сначала рассмотрим случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a+5=0$. При $a=-5$ функция становится линейной: $y = -4x+2$. Эта функция принимает как положительные (например, при $x=0$, $y=2$), так и отрицательные значения (например, при $x=1$, $y=-2$), поэтому она не может быть отрицательной при всех $x$. Значит, $a=-5$ не является решением.

Если $a+5 \neq 0$, то функция является квадратичной. Для того чтобы ее график (парабола) был полностью расположен ниже оси $x$, должны одновременно выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что старший коэффициент должен быть отрицательным:

$a+5 < 0$

$a < -5$

2. Парабола не должна пересекать ось $x$ (и не должна касаться ее). Это означает, что квадратное уравнение $(a+5)x^2 - 4x + 2 = 0$ не должно иметь действительных корней, то есть его дискриминант ($D$) должен быть отрицательным.

Найдем дискриминант:

$D = (-4)^2 - 4 \cdot (a+5) \cdot 2 = 16 - 8(a+5)$

Теперь решим неравенство $D < 0$:

$16 - 8(a+5) < 0$

$16 < 8(a+5)$

Разделим обе части на 8:

$2 < a+5$

$a > 2 - 5$

$a > -3$

Теперь объединим оба условия в систему неравенств:

$\begin{cases} a < -5 \\ a > -3 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа, которое было бы одновременно меньше $-5$ и больше $-3$. Таким образом, не существует значений $a$, при которых функция принимает только отрицательные значения.

Ответ: таких значений $a$ не существует.