Номер 113, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Решите неравенство:

1) $x^2 - 4x - 96 > 0;$

2) $x^2 + 3x - 28 \le 0;$

3) $-x^2 + 2.8x + 0.6 < 0;$

4) $-3x^2 + 7x + 6 < 0;$

5) $3x^2 + 18x \ge 0;$

6) $25x^2 - 16 < 0;$

7) $49x^2 + 14x + 1 > 0;$

8) $x^2 - 16x + 64 \ge 0;$

9) $3x^2 + 2x + 4 > 0;$

10) $4x^2 - 4x + 1 \le 0;$

11) $4x^2 - 60x + 225 < 0;$

12) $2x^2 + x + 3 \le 0.$

1) Для решения неравенства $x^2 - 4x - 96 > 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 4x - 96 = 0$.
Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-96) = 16 + 384 = 400$.
Найдем корни: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{400}}{2} = \frac{4 - 20}{2} = -8$;
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{400}}{2} = \frac{4 + 20}{2} = 12$.
Графиком функции $y = x^2 - 4x - 96$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Следовательно, значения функции положительны при $x$ вне интервала между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $x < -8$ или $x > 12$.
Ответ: $(-\infty; -8) \cup (12; +\infty)$.

2) Для решения неравенства $x^2 + 3x - 28 \le 0$ найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.
Дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121$.
Корни: $x_1 = \frac{-3 - \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 - 11}{2} = -7$;
$x_2 = \frac{-3 + \sqrt{121}}{2} = \frac{-3 + 11}{2} = 4$.
Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1 > 0$). Значения функции не положительны (меньше или равны нулю) между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $-7 \le x \le 4$.
Ответ: $[-7; 4]$.

3) Дано неравенство $-x^2 + 2,8x + 0,6 < 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2,8x - 0,6 > 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 - 2,8x - 0,6 = 0$. Умножим уравнение на 10, чтобы избавиться от десятичных дробей: $10x^2 - 28x - 6 = 0$. Разделим на 2: $5x^2 - 14x - 3 = 0$.
Дискриминант: $D = (-14)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-3) = 196 + 60 = 256$.
Корни: $x_1 = \frac{14 - \sqrt{256}}{2 \cdot 5} = \frac{14 - 16}{10} = -0,2$;
$x_2 = \frac{14 + 16}{10} = \frac{30}{10} = 3$.
Ветви параболы $y = x^2 - 2,8x - 0,6$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 2,8x - 0,6 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty; -0,2) \cup (3; +\infty)$.

4) Дано неравенство $-3x^2 + 7x + 6 < 0$. Умножим обе части на -1 и сменим знак: $3x^2 - 7x - 6 > 0$.
Решим уравнение $3x^2 - 7x - 6 = 0$.
Дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121$.
Корни: $x_1 = \frac{7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 11}{6} = -\frac{4}{6} = -\frac{2}{3}$;
$x_2 = \frac{7 + 11}{6} = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 7x - 6$ направлены вверх ($a=3>0$). Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty; -2/3) \cup (3; +\infty)$.

5) Дано неравенство $3x^2 + 18x \ge 0$. Разложим левую часть на множители: $3x(x + 6) \ge 0$.
Найдем корни уравнения $3x(x + 6) = 0$: $x_1 = 0$, $x_2 = -6$.
Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=3>0$). Неравенство выполняется на концах и вне интервала между корнями.
Ответ: $(-\infty; -6] \cup [0; +\infty)$.

6) Дано неравенство $25x^2 - 16 < 0$. Разложим левую часть по формуле разности квадратов: $(5x - 4)(5x + 4) < 0$.
Корни уравнения $(5x - 4)(5x + 4) = 0$: $x_1 = 4/5$, $x_2 = -4/5$.
Графиком является парабола с ветвями вверх ($a=25>0$). Неравенство выполняется между корнями.
$-4/5 < x < 4/5$.
Ответ: $(-4/5; 4/5)$.

7) Дано неравенство $49x^2 + 14x + 1 > 0$. Левая часть является полным квадратом: $(7x + 1)^2 > 0$.
Квадрат любого действительного числа, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(7x + 1)^2$ равно нулю при $7x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/7$.
Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = -1/7$.
Ответ: $(-\infty; -1/7) \cup (-1/7; +\infty)$.

8) Дано неравенство $x^2 - 16x + 64 \ge 0$. Левая часть является полным квадратом: $(x - 8)^2 \ge 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю).
Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

9) Дано неравенство $3x^2 + 2x + 4 > 0$. Найдем дискриминант уравнения $3x^2 + 2x + 4 = 0$.
$D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 4 - 48 = -44$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=3 > 0$, парабола $y = 3x^2 + 2x + 4$ полностью лежит выше оси абсцисс и не имеет точек пересечения с ней. Это означает, что выражение $3x^2 + 2x + 4$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство верно для любого действительного $x$.
Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

10) Дано неравенство $4x^2 - 4x + 1 \le 0$. Левая часть является полным квадратом: $(2x - 1)^2 \le 0$.
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(2x - 1)^2 \ge 0$.
Неравенство $(2x - 1)^2 < 0$ не имеет решений. Остается только возможность равенства нулю: $(2x - 1)^2 = 0$.
$2x - 1 = 0$, откуда $x = 1/2$.
Ответ: $1/2$.

11) Дано неравенство $4x^2 - 60x + 225 < 0$. Левая часть является полным квадратом: $(2x - 15)^2 < 0$.
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.
Следовательно, данное неравенство не имеет решений.
Ответ: Решений нет.

12) Дано неравенство $2x^2 + x + 3 \le 0$. Найдем дискриминант уравнения $2x^2 + x + 3 = 0$.
$D = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 - 24 = -23$.
Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=2 > 0$, парабола $y = 2x^2 + x + 3$ полностью лежит выше оси абсцисс. Это означает, что выражение $2x^2 + x + 3$ всегда положительно.
Следовательно, неравенство $2x^2 + x + 3 \le 0$ не имеет решений.
Ответ: Решений нет.