Номер 114, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

114. Решите неравенство:

1) $x^2 \leq 25;$

2) $x^2 > 13;$

3) $4x^2 \leq 9x;$

4) $-6x^2 \geq -24x;$

5) $-4x^2 > -64;$

6) $-0,6x^2 < 24x.$

1) Решим неравенство $x^2 \leq 25$.
Перенесем 25 в левую часть неравенства, чтобы получить $x^2 - 25 \leq 0$.
Левая часть является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $(x - 5)(x + 5) \leq 0$.
Найдем нули функции $y = (x - 5)(x + 5)$, решив уравнение $(x - 5)(x + 5) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -5]$, $[-5; 5]$ и $[5; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале методом подстановки:
- на интервале $(-\infty; -5]$ (например, при $x = -6$): $(-6 - 5)(-6 + 5) = (-11)(-1) = 11 > 0$.
- на интервале $[-5; 5]$ (например, при $x = 0$): $(0 - 5)(0 + 5) = (-5)(5) = -25 < 0$.
- на интервале $[5; +\infty)$ (например, при $x = 6$): $(6 - 5)(6 + 5) = (1)(11) = 11 > 0$.
Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[-5; 5]$.
Ответ: $x \in [-5; 5]$.

2) Решим неравенство $x^2 > 13$.
Перенесем 13 в левую часть: $x^2 - 13 > 0$.
Разложим левую часть на множители: $(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13}) > 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - \sqrt{13})(x + \sqrt{13}) = 0$ равны $x_1 = \sqrt{13}$ и $x_2 = -\sqrt{13}$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; -\sqrt{13})$, $(-\sqrt{13}; \sqrt{13})$ и $(\sqrt{13}; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- на интервале $(-\infty; -\sqrt{13})$ выражение положительно.
- на интервале $(-\sqrt{13}; \sqrt{13})$ выражение отрицательно.
- на интервале $(\sqrt{13}; +\infty)$ выражение положительно.
Нас интересуют промежутки, где выражение строго больше нуля. Это объединение двух интервалов.
Ответ: $x \in (-\infty; -\sqrt{13}) \cup (\sqrt{13}; +\infty)$.

3) Решим неравенство $4x^2 \leq 9x$.
Перенесем все члены в левую часть: $4x^2 - 9x \leq 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(4x - 9) \leq 0$.
Найдем нули функции $y = x(4x - 9)$, решив уравнение $x(4x - 9) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $4x - 9 = 0 \Rightarrow x_2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; \frac{9}{4}]$ и $[\frac{9}{4}; +\infty)$.
Определим знак выражения на каждом интервале:
- на интервале $(-\infty; 0]$ (например, при $x = -1$): $(-1)(4(-1) - 9) = (-1)(-13) = 13 > 0$.
- на интервале $[0; \frac{9}{4}]$ (например, при $x = 1$): $1(4(1) - 9) = 1(-5) = -5 < 0$.
- на интервале $[\frac{9}{4}; +\infty)$ (например, при $x = 3$): $3(4(3) - 9) = 3(3) = 9 > 0$.
Нас интересует промежуток, где выражение меньше или равно нулю. Это интервал $[0; \frac{9}{4}]$.
Ответ: $x \in [0; \frac{9}{4}]$.

4) Решим неравенство $-6x^2 \geq -24x$.
Перенесем все члены в левую часть: $-6x^2 + 24x \geq 0$.
Разделим обе части неравенства на -6 и сменим знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4x \leq 0$.
Вынесем общий множитель $x$ за скобки: $x(x - 4) \leq 0$.
Найдем нули функции $y = x(x - 4)$, решив уравнение $x(x - 4) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.
Эти точки делят числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0]$, $[0; 4]$ и $[4; +\infty)$.
Парабола $y = x^2 - 4x$ ветвями вверх, значит, она принимает неположительные значения между корнями.
Следовательно, решение неравенства - это интервал $[0; 4]$.
Ответ: $x \in [0; 4]$.

5) Решим неравенство $-4x^2 > -64$.
Разделим обе части неравенства на -4, при этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 < 16$.
Перенесем 16 в левую часть: $x^2 - 16 < 0$.
Разложим на множители: $(x - 4)(x + 4) < 0$.
Корни соответствующего уравнения $(x - 4)(x + 4) = 0$ равны $x_1 = 4$ и $x_2 = -4$.
Парабола $y = x^2 - 16$ ветвями вверх, значит, она принимает отрицательные значения между корнями.
Так как неравенство строгое, концы интервала не включаются.
Следовательно, решение неравенства - это интервал $(-4; 4)$.
Ответ: $x \in (-4; 4)$.

6) Решим неравенство $-0,6x^2 < 24x$.
Перенесем все члены в левую часть: $-0,6x^2 - 24x < 0$.
Умножим обе части на -10, чтобы избавиться от десятичной дроби и отрицательного коэффициента при $x^2$, и изменим знак неравенства: $6x^2 + 240x > 0$.
Разделим обе части на 6: $x^2 + 40x > 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 40) > 0$.
Найдем нули функции $y = x(x + 40)$, решив уравнение $x(x + 40) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -40$.
Парабола $y = x^2 + 40x$ ветвями вверх, значит, она принимает положительные значения вне интервала между корнями.
Так как неравенство строгое, концы интервалов не включаются.
Следовательно, решение - это объединение двух интервалов: $(-\infty; -40)$ и $(0; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -40) \cup (0; +\infty)$.