Номер 121, страница 93 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

121. При каких значениях $b$ имеет два различных действительных корня уравнение:

1) $x^2 - 3bx + 2b + 5 = 0;$

2) $bx^2 + (7b + 2)x + b = 0;$

3) $(b + 2)x^2 + (3b + 1)x - b - 1 = 0;$

4) $(2b + 10)x^2 - (4b + 8)x + 3b = 0?$

Квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ имеет два различных действительных корня при выполнении двух условий:

1. Уравнение является квадратным, то есть старший коэффициент $a \neq 0$.
2. Дискриминант уравнения $D = b^2 - 4ac$ строго больше нуля ($D > 0$).

Рассмотрим каждое уравнение отдельно.

1) $x^2 - 3bx + 2b + 5 = 0$

В данном уравнении коэффициент при $x^2$ равен 1, он не зависит от $b$ и не равен нулю. Следовательно, уравнение всегда является квадратным.

Найдем дискриминант $D$:

$D = (-3b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2b + 5) = 9b^2 - 8b - 20$.

Условие наличия двух различных действительных корней — $D > 0$.

$9b^2 - 8b - 20 > 0$.

Для решения этого неравенства найдем корни квадратного трехчлена $9b^2 - 8b - 20 = 0$.

Дискриминант для этого уравнения (относительно $b$): $D_b = (-8)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-20) = 64 + 720 = 784 = 28^2$.

Корни: $b_1 = \frac{8 - 28}{2 \cdot 9} = \frac{-20}{18} = -\frac{10}{9}$; $b_2 = \frac{8 + 28}{2 \cdot 9} = \frac{36}{18} = 2$.

Парабола $y = 9b^2 - 8b - 20$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $9b^2 - 8b - 20 > 0$ выполняется при значениях $b$ вне интервала между корнями.

$b \in (-\infty; -\frac{10}{9}) \cup (2; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{10}{9}) \cup (2; +\infty)$.

2) $bx^2 + (7b + 2)x + b = 0$

Условие 1: Уравнение должно быть квадратным, значит, коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

$b \neq 0$.

Условие 2: Дискриминант $D$ должен быть больше нуля.

$D = (7b + 2)^2 - 4 \cdot b \cdot b = (49b^2 + 28b + 4) - 4b^2 = 45b^2 + 28b + 4$.

Решим неравенство $D > 0$:

$45b^2 + 28b + 4 > 0$.

Найдем корни уравнения $45b^2 + 28b + 4 = 0$.

$D_b = 28^2 - 4 \cdot 45 \cdot 4 = 784 - 720 = 64 = 8^2$.

Корни: $b_1 = \frac{-28 - 8}{2 \cdot 45} = \frac{-36}{90} = -\frac{2}{5}$; $b_2 = \frac{-28 + 8}{2 \cdot 45} = \frac{-20}{90} = -\frac{2}{9}$.

Ветви параболы $y = 45b^2 + 28b + 4$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями:

$b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; +\infty)$.

Объединяя это решение с условием $b \neq 0$, получаем итоговый результат. Точку $b=0$ необходимо исключить из интервала $(-\frac{2}{9}; +\infty)$.

Ответ: $b \in (-\infty; -\frac{2}{5}) \cup (-\frac{2}{9}; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) $(b + 2)x^2 + (3b + 1)x - b - 1 = 0$

Условие 1: Уравнение должно быть квадратным.

$b + 2 \neq 0 \implies b \neq -2$.

Условие 2: Дискриминант $D$ должен быть больше нуля.

$D = (3b + 1)^2 - 4(b + 2)(-(b + 1)) = (9b^2 + 6b + 1) + 4(b + 2)(b + 1)$.

$D = 9b^2 + 6b + 1 + 4(b^2 + 3b + 2) = 9b^2 + 6b + 1 + 4b^2 + 12b + 8 = 13b^2 + 18b + 9$.

Решим неравенство $D > 0$:

$13b^2 + 18b + 9 > 0$.

Найдем дискриминант этого квадратного трехчлена относительно $b$:

$D_b = 18^2 - 4 \cdot 13 \cdot 9 = 324 - 468 = -144$.

Так как $D_b < 0$ и коэффициент при $b^2$ (равный 13) положителен, то выражение $13b^2 + 18b + 9$ всегда больше нуля при любом действительном $b$.

Таким образом, единственным ограничением для $b$ является условие $b \neq -2$.

Ответ: $b \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

4) $(2b + 10)x^2 - (4b + 8)x + 3b = 0$

Условие 1: Уравнение должно быть квадратным.

$2b + 10 \neq 0 \implies 2(b+5) \neq 0 \implies b \neq -5$.

Условие 2: Дискриминант $D$ должен быть больше нуля.

$D = (-(4b + 8))^2 - 4(2b + 10)(3b) = (4(b + 2))^2 - 12b(2b + 10)$.

$D = 16(b^2 + 4b + 4) - (24b^2 + 120b) = 16b^2 + 64b + 64 - 24b^2 - 120b = -8b^2 - 56b + 64$.

Решим неравенство $D > 0$:

$-8b^2 - 56b + 64 > 0$.

Разделим обе части на -8 и изменим знак неравенства:

$b^2 + 7b - 8 < 0$.

Найдем корни уравнения $b^2 + 7b - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = -8$ и $b_2 = 1$.

Парабола $y = b^2 + 7b - 8$ имеет ветви, направленные вверх, поэтому неравенство $b^2 + 7b - 8 < 0$ выполняется на интервале между корнями: $-8 < b < 1$.

Объединяя это решение с условием $b \neq -5$, получаем, что точка $b=-5$ должна быть исключена из интервала $(-8, 1)$.

Ответ: $b \in (-8; -5) \cup (-5; 1)$.