Номер 124, страница 94 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 5x - 6 > 0, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 8x - 9 \le 0, \\ x > a. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 + 5x - 6 > 0, \\ x < a.\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 6 > 0$.
Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 5x - 6 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.
Теперь необходимо найти пересечение этого множества с решением второго неравенства $x < a$, то есть с интервалом $(-\infty; a)$.
Рассмотрим три случая для параметра $a$ относительно корней $-6$ и $1$.
1. Если $a \le -6$.
Интервал $(-\infty; a)$ полностью содержится в луче $(-\infty; -6)$. Их пересечение дает интервал $(-\infty; a)$.
2. Если $-6 < a \le 1$.
Интервал $(-\infty; a)$ пересекается с множеством $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$ только по лучу $(-\infty; -6)$.
3. Если $a > 1$.
Интервал $(-\infty; a)$ пересекается с обоими лучами $(-\infty; -6)$ и $(1; +\infty)$. Пересечением будет объединение $(-\infty; -6) \cup (1; a)$.

Ответ: если $a \le -6$, то $x \in (-\infty; a)$; если $-6 < a \le 1$, то $x \in (-\infty; -6)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty; -6) \cup (1; a)$.

2) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 8x - 9 \le 0, \\ x > a.\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 8x - 9 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 8x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 8x - 9 \le 0$ выполняется при $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-1; 9]$.
Теперь необходимо найти пересечение этого отрезка с решением второго неравенства $x > a$, то есть с интервалом $(a; +\infty)$.
Рассмотрим три случая для параметра $a$ относительно концов отрезка $[-1; 9]$.
1. Если $a < -1$.
Интервал $(a; +\infty)$ полностью накрывает отрезок $[-1; 9]$. Их пересечением будет весь отрезок $[-1; 9]$.
2. Если $-1 \le a < 9$.
Интервал $(a; +\infty)$ начинается внутри отрезка $[-1; 9]$ или в его левой граничной точке. Пересечением будет полуинтервал $(a; 9]$.
3. Если $a \ge 9$.
Интервал $(a; +\infty)$ начинается в правой граничной точке отрезка $[-1; 9]$ или правее. Общих точек у них нет. Решений в этом случае нет.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in [-1; 9]$; если $-1 \le a < 9$, то $x \in (a; 9]$; если $a \ge 9$, то решений нет.