Номер 130, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

130. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения:

1) прямой $y = 3x - 1$ и параболы $y = x^2 - 2x + 3$;

2) прямой $2x + y + 9 = 0$ и окружности $(x + 2)^2 + y^2 = 10$;

3) прямой $y = -x + 1$ и окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 8$;

4) парабол $y = 2x^2 - 8x + 11$ и $y = 1 + 4x - 2x^2$.

1) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой $y = 3x - 1$ и параболы $y = x^2 - 2x + 3$, необходимо решить систему уравнений:
$\begin{cases} y = 3x - 1 \\ y = x^2 - 2x + 3 \end{cases}$
Приравняем правые части уравнений, так как левые части равны ($y$):
$3x - 1 = x^2 - 2x + 3$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 3x + 3 + 1 = 0$
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно 4, а сумма равна 5. Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = 3x - 1$:
При $x_1 = 1$: $y_1 = 3(1) - 1 = 2$.
При $x_2 = 4$: $y_2 = 3(4) - 1 = 11$.
Таким образом, мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(1, 2), (4, 11)$.

2) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой $2x + y + 9 = 0$ и окружности $(x + 2)^2 + y^2 = 10$, решим систему уравнений:
$\begin{cases} 2x + y + 9 = 0 \\ (x + 2)^2 + y^2 = 10 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $y$: $y = -2x - 9$.
Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение:
$(x + 2)^2 + (-2x - 9)^2 = 10$
Раскроем скобки:
$(x^2 + 4x + 4) + (4x^2 + 36x + 81) = 10$
Приведем подобные слагаемые:
$5x^2 + 40x + 85 = 10$
$5x^2 + 40x + 75 = 0$
Разделим все уравнение на 5 для упрощения:
$x^2 + 8x + 15 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = -3$ и $x_2 = -5$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$ по формуле $y = -2x - 9$:
При $x_1 = -3$: $y_1 = -2(-3) - 9 = 6 - 9 = -3$.
При $x_2 = -5$: $y_2 = -2(-5) - 9 = 10 - 9 = 1$.
Мы получили две точки пересечения.
Ответ: $(-3, -3), (-5, 1)$.

3) Чтобы найти координаты точек пересечения прямой $y = -x + 1$ и окружности $x^2 + (y + 3)^2 = 8$, решим систему уравнений:
$\begin{cases} y = -x + 1 \\ x^2 + (y + 3)^2 = 8 \end{cases}$
Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:
$x^2 + ((-x + 1) + 3)^2 = 8$
$x^2 + (-x + 4)^2 = 8$
Раскроем скобки:
$x^2 + (x^2 - 8x + 16) = 8$
$2x^2 - 8x + 16 - 8 = 0$
$2x^2 - 8x + 8 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$x^2 - 4x + 4 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x - 2)^2 = 0$.
Уравнение имеет один корень: $x = 2$.
Найдем соответствующее значение $y$ из уравнения $y = -x + 1$:
$y = -2 + 1 = -1$.
Так как мы получили только одно решение, прямая является касательной к окружности в этой точке.
Ответ: $(2, -1)$.

4) Чтобы найти координаты точек пересечения парабол $y = 2x^2 - 8x + 11$ и $y = 1 + 4x - 2x^2$, приравняем их правые части:
$2x^2 - 8x + 11 = 1 + 4x - 2x^2$
Перенесем все члены в левую сторону:
$2x^2 + 2x^2 - 8x - 4x + 11 - 1 = 0$
$4x^2 - 12x + 10 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$2x^2 - 6x + 5 = 0$
Чтобы найти корни этого квадратного уравнения, вычислим его дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-6)^2 - 4(2)(5) = 36 - 40 = -4$
Поскольку дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что графики функций не пересекаются.
Ответ: точек пересечения нет.