Номер 132, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

132. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 4x^2 - y^2 = 32, \\ xy = 6; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y + xy = -19, \\ xy(x + y) = -20; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^3 - y^3 = 98, \\ x - y = 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{16}{15}, \\ 4y - 5x = 15; \end{cases}$

5) $\begin{cases} \frac{3}{2x + 5y} - \frac{2}{3x - 10y} = 4, \\ \frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{3x - 10y} = 7; \end{cases}$

6) $\begin{cases} \frac{x + 3y}{2x - y} + \frac{6(2x - y)}{x + 3y} = 5, \\ x^2 - xy - y^2 = 1. \end{cases}$

1) Дана система уравнений:$ \begin{cases} 4x^2 - y^2 = 32 \\ xy = 6 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{6}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$).
Подставим это выражение в первое уравнение:$4x^2 - (\frac{6}{x})^2 = 32$
$4x^2 - \frac{36}{x^2} = 32$
Умножим обе части уравнения на $x^2$, чтобы избавиться от знаменателя:$4x^4 - 36 = 32x^2$
$4x^4 - 32x^2 - 36 = 0$
Разделим уравнение на 4:$x^4 - 8x^2 - 9 = 0$
Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной $t = x^2$, где $t \geq 0$:$t^2 - 8t - 9 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $t$. Корни: $t_1 = 9$ и $t_2 = -1$.
Так как $t = x^2$ должно быть неотрицательным, корень $t_2 = -1$ не подходит.
Возвращаемся к переменной $x$:$x^2 = 9$, откуда $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$:
Если $x_1 = 3$, то $y_1 = \frac{6}{3} = 2$.
Если $x_2 = -3$, то $y_2 = \frac{6}{-3} = -2$.
Получили две пары решений: $(3, 2)$ и $(-3, -2)$.
Ответ: $(3, 2), (-3, -2)$.

2) Дана система уравнений:$ \begin{cases} x + y + xy = -19 \\ xy(x + y) = -20 \end{cases} $
Введем новые переменные: $u = x + y$ и $v = xy$. Система примет вид:$ \begin{cases} u + v = -19 \\ uv = -20 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - (-19)z + (-20) = 0$, то есть $z^2 + 19z - 20 = 0$.
Корни этого уравнения: $z_1 = 1$ и $z_2 = -20$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $u = 1$, $v = -20$.
Возвращаемся к исходным переменным:$ \begin{cases} x + y = 1 \\ xy = -20 \end{cases} $
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - t - 20 = 0$.
Решая его, получаем $t_1 = 5$, $t_2 = -4$.
Это дает нам две пары решений: $(5, -4)$ и $(-4, 5)$.
Случай 2: $u = -20$, $v = 1$.
Возвращаемся к исходным переменным:$ \begin{cases} x + y = -20 \\ xy = 1 \end{cases} $
$x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (-20)t + 1 = 0$, то есть $t^2 + 20t + 1 = 0$.
Решим его через дискриминант: $D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 400 - 4 = 396 = 36 \cdot 11$.
$t = \frac{-20 \pm \sqrt{396}}{2} = \frac{-20 \pm 6\sqrt{11}}{2} = -10 \pm 3\sqrt{11}$.
Это дает нам еще две пары решений: $(-10 + 3\sqrt{11}, -10 - 3\sqrt{11})$ и $(-10 - 3\sqrt{11}, -10 + 3\sqrt{11})$.
Ответ: $(5, -4), (-4, 5), (-10 + 3\sqrt{11}, -10 - 3\sqrt{11}), (-10 - 3\sqrt{11}, -10 + 3\sqrt{11})$.

3) Дана система уравнений:$ \begin{cases} x^3 - y^3 = 98 \\ x - y = 2 \end{cases} $
Используем формулу разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Подставим известные значения из системы:$98 = 2(x^2 + xy + y^2)$
$x^2 + xy + y^2 = 49$
Из второго уравнения системы выразим $x$: $x = y + 2$.
Подставим это выражение в полученное уравнение:$(y + 2)^2 + (y + 2)y + y^2 = 49$
$(y^2 + 4y + 4) + (y^2 + 2y) + y^2 = 49$
$3y^2 + 6y + 4 = 49$
$3y^2 + 6y - 45 = 0$
Разделим уравнение на 3:$y^2 + 2y - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни: $y_1 = 3$ и $y_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $x$:
Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 + 2 = 5$.
Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 2 = -3$.
Получили две пары решений: $(5, 3)$ и $(-3, -5)$.
Ответ: $(5, 3), (-3, -5)$.

4) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \frac{y}{x} - \frac{x}{y} = \frac{16}{15} \\ 4y - 5x = 15 \end{cases} $
Преобразуем первое уравнение, приведя дроби к общему знаменателю:$\frac{y^2 - x^2}{xy} = \frac{16}{15}$
$15(y^2 - x^2) = 16xy$
$15y^2 - 16xy - 15x^2 = 0$
Это однородное уравнение. Разделим его на $x^2$ (предполагая $x \neq 0$):$15(\frac{y}{x})^2 - 16(\frac{y}{x}) - 15 = 0$
Сделаем замену $t = \frac{y}{x}$:$15t^2 - 16t - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-15) = 256 + 900 = 1156 = 34^2$.
$t = \frac{16 \pm 34}{30}$, откуда $t_1 = \frac{16 + 34}{30} = \frac{5}{3}$ и $t_2 = \frac{16 - 34}{30} = -\frac{3}{5}$.
Рассмотрим два случая:
Случай 1: $\frac{y}{x} = \frac{5}{3}$, откуда $y = \frac{5}{3}x$. Подставим во второе уравнение: $4(\frac{5}{3}x) - 5x = 15 \Rightarrow \frac{20}{3}x - 5x = 15 \Rightarrow \frac{5x}{3} = 15 \Rightarrow x = 9$. Тогда $y = \frac{5}{3} \cdot 9 = 15$. Первое решение: $(9, 15)$.
Случай 2: $\frac{y}{x} = -\frac{3}{5}$, откуда $y = -\frac{3}{5}x$. Подставим во второе уравнение: $4(-\frac{3}{5}x) - 5x = 15 \Rightarrow -\frac{12}{5}x - 5x = 15 \Rightarrow -\frac{37x}{5} = 15 \Rightarrow x = -\frac{75}{37}$. Тогда $y = -\frac{3}{5} \cdot (-\frac{75}{37}) = \frac{45}{37}$. Второе решение: $(-\frac{75}{37}, \frac{45}{37})$.
Ответ: $(9, 15), (-\frac{75}{37}, \frac{45}{37})$.

5) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \frac{3}{2x + 5y} - \frac{2}{3x - 10y} = 4 \\ \frac{2}{2x + 5y} + \frac{3}{3x - 10y} = 7 \end{cases} $
Введем новые переменные: $u = \frac{1}{2x + 5y}$ и $v = \frac{1}{3x - 10y}$.
Система примет вид: $ \begin{cases} 3u - 2v = 4 \\ 2u + 3v = 7 \end{cases} $
Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, и сложим их:$(9u - 6v) + (4u + 6v) = 12 + 14 \Rightarrow 13u = 26 \Rightarrow u = 2$.
Подставив $u=2$ в любое из уравнений, найдем $v$: $2(2) + 3v = 7 \Rightarrow 4 + 3v = 7 \Rightarrow 3v = 3 \Rightarrow v = 1$.
Вернемся к исходным переменным:$u = \frac{1}{2x + 5y} = 2 \Rightarrow 2x + 5y = \frac{1}{2}$
$v = \frac{1}{3x - 10y} = 1 \Rightarrow 3x - 10y = 1$
Получили систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на 2 и сложим со вторым:$(4x + 10y) + (3x - 10y) = 1 + 1 \Rightarrow 7x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{7}$.
Подставим $x = \frac{2}{7}$ в $2x + 5y = \frac{1}{2}$:$2(\frac{2}{7}) + 5y = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{4}{7} + 5y = \frac{1}{2} \Rightarrow 5y = \frac{1}{2} - \frac{4}{7} = \frac{7-8}{14} = -\frac{1}{14}$.
$y = -\frac{1}{70}$.
Ответ: $(\frac{2}{7}, -\frac{1}{70})$.

6) Дана система уравнений:$ \begin{cases} \frac{x + 3y}{2x - y} + \frac{6(2x - y)}{x + 3y} = 5 \\ x^2 - xy - y^2 = 1 \end{cases} $
В первом уравнении введем замену $t = \frac{x + 3y}{2x - y}$. Уравнение примет вид:$t + \frac{6}{t} = 5$
$t^2 - 5t + 6 = 0$
Корни этого уравнения: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Случай 1: $\frac{x + 3y}{2x - y} = 2 \Rightarrow x + 3y = 4x - 2y \Rightarrow 5y = 3x \Rightarrow x = \frac{5}{3}y$.
Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{5}{3}y)^2 - (\frac{5}{3}y)y - y^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{9}y^2 - \frac{5}{3}y^2 - y^2 = 1$.
$\frac{25y^2 - 15y^2 - 9y^2}{9} = 1 \Rightarrow \frac{y^2}{9} = 1 \Rightarrow y^2 = 9$.
Отсюда $y_1 = 3$ (тогда $x_1 = 5$) и $y_2 = -3$ (тогда $x_2 = -5$).
Получили две пары решений: $(5, 3)$ и $(-5, -3)$.
Случай 2: $\frac{x + 3y}{2x - y} = 3 \Rightarrow x + 3y = 6x - 3y \Rightarrow 6y = 5x \Rightarrow x = \frac{6}{5}y$.
Подставим во второе уравнение системы:$(\frac{6}{5}y)^2 - (\frac{6}{5}y)y - y^2 = 1 \Rightarrow \frac{36}{25}y^2 - \frac{6}{5}y^2 - y^2 = 1$.
$\frac{36y^2 - 30y^2 - 25y^2}{25} = 1 \Rightarrow -19y^2 = 25 \Rightarrow y^2 = -\frac{25}{19}$.
Это уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: $(5, 3), (-5, -3)$.