Номер 138, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

138. Лодка проходит 54 км по течению реки и 48 км в стоячей воде за 6 ч. Чтобы пройти 64 км в стоячей воде, лодке требуется на 2 ч больше, чем на прохождение 36 км по течению этой реки. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения реки.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде), и $y$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость лодки по течению реки равна $(x + y)$ км/ч.

Из первого условия задачи известно, что лодка проходит 54 км по течению и 48 км в стоячей воде за общее время 6 часов. Время, затраченное на путь по течению, составляет $\frac{54}{x+y}$ ч, а время на путь в стоячей воде — $\frac{48}{x}$ ч. Составим первое уравнение системы: $$ \frac{54}{x+y} + \frac{48}{x} = 6 $$

Из второго условия следует, что на 64 км в стоячей воде лодка тратит на 2 часа больше, чем на 36 км по течению. Время, затраченное на 64 км в стоячей воде, равно $\frac{64}{x}$ ч, а время на 36 км по течению — $\frac{36}{x+y}$ ч. Составим второе уравнение системы: $$ \frac{64}{x} - \frac{36}{x+y} = 2 $$

Таким образом, мы получили систему двух уравнений с двумя переменными: $$ \begin{cases} \frac{54}{x+y} + \frac{48}{x} = 6 \\ \frac{64}{x} - \frac{36}{x+y} = 2 \end{cases} $$

Для упрощения решения введем замену переменных. Пусть $u = \frac{1}{x+y}$ и $v = \frac{1}{x}$. Система примет вид: $$ \begin{cases} 54u + 48v = 6 \\ -36u + 64v = 2 \end{cases} $$

Разделим обе части первого уравнения на 6, а второго — на 2: $$ \begin{cases} 9u + 8v = 1 \\ -18u + 32v = 1 \end{cases} $$

Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при переменной $u$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 18u + 16v = 2 \\ -18u + 32v = 1 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы: $$ (18u + 16v) + (-18u + 32v) = 2 + 1 $$ $$ 48v = 3 $$ $$ v = \frac{3}{48} = \frac{1}{16} $$

Подставим найденное значение $v$ в уравнение $9u + 8v = 1$: $$ 9u + 8 \cdot \left(\frac{1}{16}\right) = 1 $$ $$ 9u + \frac{1}{2} = 1 $$ $$ 9u = 1 - \frac{1}{2} $$ $$ 9u = \frac{1}{2} $$ $$ u = \frac{1}{18} $$

Теперь выполним обратную замену. Из $v = \frac{1}{x}$ следует, что $x = \frac{1}{v}$. Подставляем значение $v$: $$ x = \frac{1}{1/16} = 16 $$ Следовательно, собственная скорость лодки составляет 16 км/ч.

Из $u = \frac{1}{x+y}$ следует, что $x+y = \frac{1}{u}$. Подставляем значение $u$ и найденное значение $x$: $$ 16 + y = \frac{1}{1/18} $$ $$ 16 + y = 18 $$ $$ y = 18 - 16 = 2 $$ Следовательно, скорость течения реки составляет 2 км/ч.

Ответ: собственная скорость лодки — 16 км/ч, скорость течения реки — 2 км/ч.