Номер 145, страница 98 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

145. Дорога длиной 30 км, соединяющая село и железнодорожную станцию, идёт сначала с горы, а затем вверх. Из села на станцию велосипедист едет 2 ч 12 мин, а со станции — 2 ч 18 мин. С какой скоростью велосипедист едет с горы и с какой в гору, если его скорость на подъёме на 3 км/ч меньше его скорости на спуске?

Введем переменные:
Пусть $x$ км — длина участка дороги, который идёт с горы по пути из села на станцию.
Тогда $(30 - x)$ км — длина участка дороги, который идёт в гору по тому же пути.
Пусть $v$ км/ч — скорость велосипедиста на спуске (с горы).
Согласно условию, скорость на подъёме на 3 км/ч меньше, значит $(v - 3)$ км/ч — скорость велосипедиста на подъёме (в гору).

Переведем время в пути в часы:
Время из села на станцию: $T_1 = 2 \text{ ч } 12 \text{ мин } = 2 + \frac{12}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{1}{5} \text{ ч } = 2,2 \text{ ч }$.
Время со станции в село: $T_2 = 2 \text{ ч } 18 \text{ мин } = 2 + \frac{18}{60} \text{ ч } = 2 + \frac{3}{10} \text{ ч } = 2,3 \text{ ч }$.

Составим систему уравнений, используя формулу времени $t = \frac{S}{v}$:
1. Путь из села на станцию (сначала спуск, потом подъем):
$\frac{x}{v} + \frac{30-x}{v-3} = 2,2$
2. Путь со станции в село (сначала спуск по бывшему подъему, потом подъем по бывшему спуску):
$\frac{30-x}{v} + \frac{x}{v-3} = 2,3$

Сложим оба уравнения системы, чтобы исключить переменную $x$:
$(\frac{x}{v} + \frac{30-x}{v-3}) + (\frac{30-x}{v} + \frac{x}{v-3}) = 2,2 + 2,3$
$\frac{x + 30 - x}{v} + \frac{30 - x + x}{v-3} = 4,5$
$\frac{30}{v} + \frac{30}{v-3} = 4,5$

Решим полученное уравнение относительно $v$:
Приведем к общему знаменателю $v(v-3)$:
$30(v-3) + 30v = 4,5v(v-3)$
$30v - 90 + 30v = 4,5v^2 - 13,5v$
$60v - 90 = 4,5v^2 - 13,5v$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$4,5v^2 - 73,5v + 90 = 0$
Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от десятичных дробей:
$9v^2 - 147v + 180 = 0$
Разделим уравнение на 3, чтобы упростить коэффициенты:
$3v^2 - 49v + 60 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-49)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 60 = 2401 - 720 = 1681 = 41^2$
$v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{49 \pm 41}{2 \cdot 3} = \frac{49 \pm 41}{6}$
$v_1 = \frac{49 + 41}{6} = \frac{90}{6} = 15$
$v_2 = \frac{49 - 41}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

Проанализируем полученные корни:
Корень $v_2 = \frac{4}{3}$ км/ч не подходит по смыслу задачи, так как в этом случае скорость на подъёме была бы отрицательной: $v_{подъём} = \frac{4}{3} - 3 = -\frac{5}{3}$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной.
Следовательно, единственное верное решение для скорости на спуске: $v = 15$ км/ч.

Теперь найдем скорость на подъёме:
Скорость в гору = $v - 3 = 15 - 3 = 12$ км/ч.

Ответ: скорость, с которой велосипедист едет с горы, равна 15 км/ч, а скорость, с которой он едет в гору, — 12 км/ч.