Номер 140, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 6 ч 40 мин. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно $ \frac{4}{5} $ котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за 12 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно?

Пусть время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая отдельно, равно $x$ часов, а время для второго экскаватора — $y$ часов.

Тогда производительность (скорость работы) первого экскаватора составляет $\frac{1}{x}$ котлована в час, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ котлована в час.

Согласно первому условию, работая вместе, они вырыли котлован за 6 ч 40 мин. Переведем это время в часы: $6 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 6 \frac{40}{60} \text{ ч } = 6 \frac{2}{3} \text{ ч } = \frac{20}{3} \text{ ч}$.

Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Так как вся работа (примем ее за 1) была выполнена за $\frac{20}{3}$ часа, то можем составить первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{20}{3} = 1$, откуда $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{20}$.

Согласно второму условию, сначала первый экскаватор выполнил $\frac{4}{5}$ всей работы. Время, которое он на это затратил, равно $t_1 = \frac{4/5}{1/x} = \frac{4x}{5}$ часов.

Затем второй экскаватор выполнил оставшуюся часть работы, то есть $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$. Время, которое он на это затратил, равно $t_2 = \frac{1/5}{1/y} = \frac{y}{5}$ часов.

Вся работа была выполнена за 12 часов, значит $t_1 + t_2 = 12$. Составим второе уравнение:

$\frac{4x}{5} + \frac{y}{5} = 12$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{20} \\ \frac{4x}{5} + \frac{y}{5} = 12 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, умножив его на 5: $4x + y = 60$. Выразим отсюда $y$: $y = 60 - 4x$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{60 - 4x} = \frac{3}{20}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{60 - 4x + x}{x(60 - 4x)} = \frac{3}{20}$

$\frac{60 - 3x}{60x - 4x^2} = \frac{3}{20}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$20(60 - 3x) = 3(60x - 4x^2)$

$1200 - 60x = 180x - 12x^2$

Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$12x^2 - 240x + 1200 = 0$

Разделим все уравнение на 12 для упрощения:

$x^2 - 20x + 100 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 10)^2 = 0$

Отсюда $x = 10$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 60 - 4x$:

$y = 60 - 4 \cdot 10 = 60 - 40 = 20$.

Таким образом, первый экскаватор может вырыть котлован за 10 часов, а второй — за 20 часов.

Ответ: первый экскаватор может вырыть котлован за 10 часов, а второй — за 20 часов.