Номер 141, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

141. Если одновременно открыть две трубы, через первую из которых в бассейн будет наливаться вода, а через вторую выливаться, то бассейн наполнится за 36 ч. Если 6 ч наполнять бассейн через первую трубу, а затем открыть вторую трубу, через которую вода выливается, то бассейн наполнится через 18 ч после открытия второй трубы. За сколько часов через первую трубу можно наполнить бассейн? За сколько часов через вторую трубу выльется вся вода из бассейна?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Примем объем бассейна за 1 условную единицу.

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая (наполняющая) труба может наполнить весь бассейн. Тогда ее производительность (скорость работы) составляет $1/x$ бассейна в час.

Пусть $y$ — время в часах, за которое вторая (сливная) труба может опорожнить весь бассейн. Тогда ее производительность составляет $1/y$ бассейна в час.

1. Составление первого уравнения.

По условию, если обе трубы открыты одновременно, бассейн наполнится за 36 часов. Совместная производительность двух труб равна разности их производительностей, так как они выполняют противоположные действия:

$(1/x - 1/y)$ бассейна в час.

За 36 часов они наполнят весь бассейн (объем 1):

$36 \cdot (1/x - 1/y) = 1$

Отсюда получаем первое уравнение:

$1/x - 1/y = 1/36$

2. Составление второго уравнения.

По второму условию, сначала первая труба работала одна в течение 6 часов. За это время она наполнила часть бассейна, равную:

$6 \cdot (1/x) = 6/x$

Затем открыли вторую трубу, и обе трубы работали вместе еще 18 часов до полного наполнения бассейна. За эти 18 часов объем воды в бассейне увеличился на:

$18 \cdot (1/x - 1/y)$

Сумма наполненных объемов за оба периода равна всему объему бассейна (1):

$6/x + 18 \cdot (1/x - 1/y) = 1$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 1/x - 1/y = 1/36 \\ 6/x + 18(1/x - 1/y) = 1 \end{cases}$

Подставим значение выражения $(1/x - 1/y)$ из первого уравнения во второе:

$6/x + 18 \cdot (1/36) = 1$

Упростим полученное уравнение:

$6/x + 1/2 = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$6/x = 1 - 1/2$

$6/x = 1/2$

$x = 6 \cdot 2 = 12$

Итак, мы нашли время, за которое первая труба может наполнить бассейн.

4. Нахождение времени для второй трубы.

Подставим найденное значение $x = 12$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$1/12 - 1/y = 1/36$

Выразим $1/y$:

$1/y = 1/12 - 1/36$

Приведем дроби к общему знаменателю 36:

$1/y = 3/36 - 1/36$

$1/y = 2/36$

$1/y = 1/18$

$y = 18$

Таким образом, мы нашли время, за которое вторая труба может опорожнить бассейн.

За сколько часов через первую трубу можно наполнить бассейн?

Как было найдено из решения системы уравнений, время наполнения бассейна только через первую трубу составляет 12 часов.

Ответ: 12 часов.

За сколько часов через вторую трубу выльется вся вода из бассейна?

Как было найдено из решения системы уравнений, время, за которое вся вода выльется из полного бассейна через вторую трубу, составляет 18 часов.

Ответ: 18 часов.