Страница 97 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Из двух сёл $A$ и $B$, расстояние между которыми равно 54 км, выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились в селе $C$, расстояние от которого до $A$ составляет $\frac{1}{3}$ расстояния между $A$ и $B$, причём первый велосипедист выехал из $B$ на 54 мин раньше, чем второй велосипедист выехал из $A$. Если бы велосипедисты выехали одновременно, то они встретились бы через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста.

Пусть $v_1$ км/ч — скорость первого велосипедиста, который выехал из села B, а $v_2$ км/ч — скорость второго велосипедиста, который выехал из села A.

1. Анализ условия при одновременном выезде

Если бы велосипедисты выехали одновременно, они бы встретились через 2 часа. Двигаясь навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. За 2 часа они вместе преодолевают всё расстояние в 54 км. На основе этого составим первое уравнение:

$2 \cdot (v_1 + v_2) = 54$

Выразим сумму скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{54}{2}$

$v_1 + v_2 = 27 \quad (1)$

2. Анализ условия при разновременном выезде

Велосипедисты встретились в селе C. Расстояние от села A до села C составляет $\frac{1}{3}$ расстояния между A и B.

Расстояние, которое проехал второй велосипедист (из A до C):

$S_2 = \frac{1}{3} \cdot 54 = 18$ км.

Следовательно, расстояние, которое проехал первый велосипедист (из B до C):

$S_1 = 54 - 18 = 36$ км.

Первый велосипедист (из B) выехал на 54 минуты раньше второго. Переведем 54 минуты в часы:

$54 \text{ мин} = \frac{54}{60} \text{ ч} = \frac{9}{10} \text{ ч} = 0.9 \text{ ч}$.

Пусть $t_2$ — время в пути второго велосипедиста, а $t_1$ — время в пути первого. Тогда $t_1 = t_2 + 0.9$.

Время каждого велосипедиста можно выразить через расстояние и скорость: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{36}{v_1}$ и $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{18}{v_2}$.

Подставим эти выражения в соотношение времен и получим второе уравнение:

$\frac{36}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9 \quad (2)$

3. Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 27 \\ \frac{36}{v_1} = \frac{18}{v_2} + 0.9 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_1$ через $v_2$:

$v_1 = 27 - v_2$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{36}{27 - v_2} = \frac{18}{v_2} + 0.9$

Для решения этого уравнения умножим обе его части на $v_2(27 - v_2)$, чтобы избавиться от знаменателей:

$36v_2 = 18(27 - v_2) + 0.9v_2(27 - v_2)$

Раскроем скобки:

$36v_2 = 486 - 18v_2 + 24.3v_2 - 0.9v_2^2$

Приведем подобные слагаемые:

$36v_2 = 486 + 6.3v_2 - 0.9v_2^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$0.9v_2^2 + 36v_2 - 6.3v_2 - 486 = 0$

$0.9v_2^2 + 29.7v_2 - 486 = 0$

Умножим всё уравнение на 10, чтобы работать с целыми числами:

$9v_2^2 + 297v_2 - 4860 = 0$

Разделим уравнение на 9 для упрощения:

$v_2^2 + 33v_2 - 540 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 33^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-540) = 1089 + 2160 = 3249$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{3249} = 57$.

Теперь найдем возможные значения для $v_2$:

$v_{2,1} = \frac{-33 + 57}{2} = \frac{24}{2} = 12$

$v_{2,2} = \frac{-33 - 57}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому скорость второго велосипедиста (из A) равна $v_2 = 12$ км/ч.

Теперь найдем скорость первого велосипедиста (из B), используя уравнение (1):

$v_1 = 27 - v_2 = 27 - 12 = 15$ км/ч.

Ответ: скорость велосипедиста, выехавшего из B, равна 15 км/ч; скорость велосипедиста, выехавшего из A, равна 12 км/ч.

140. Два экскаватора, работая одновременно, могут вырыть котлован за 6 ч 40 мин. Если же сначала первый экскаватор выроет самостоятельно $ \frac{4}{5} $ котлована, а затем второй — оставшуюся часть котлована, то вся работа будет выполнена за 12 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая отдельно?

Пусть время, за которое первый экскаватор может вырыть котлован, работая отдельно, равно $x$ часов, а время для второго экскаватора — $y$ часов.

Тогда производительность (скорость работы) первого экскаватора составляет $\frac{1}{x}$ котлована в час, а производительность второго — $\frac{1}{y}$ котлована в час.

Согласно первому условию, работая вместе, они вырыли котлован за 6 ч 40 мин. Переведем это время в часы: $6 \text{ ч } 40 \text{ мин } = 6 \frac{40}{60} \text{ ч } = 6 \frac{2}{3} \text{ ч } = \frac{20}{3} \text{ ч}$.

Совместная производительность равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Так как вся работа (примем ее за 1) была выполнена за $\frac{20}{3}$ часа, то можем составить первое уравнение:

$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot \frac{20}{3} = 1$, откуда $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{20}$.

Согласно второму условию, сначала первый экскаватор выполнил $\frac{4}{5}$ всей работы. Время, которое он на это затратил, равно $t_1 = \frac{4/5}{1/x} = \frac{4x}{5}$ часов.

Затем второй экскаватор выполнил оставшуюся часть работы, то есть $1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}$. Время, которое он на это затратил, равно $t_2 = \frac{1/5}{1/y} = \frac{y}{5}$ часов.

Вся работа была выполнена за 12 часов, значит $t_1 + t_2 = 12$. Составим второе уравнение:

$\frac{4x}{5} + \frac{y}{5} = 12$.

Получили систему уравнений:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{3}{20} \\ \frac{4x}{5} + \frac{y}{5} = 12 \end{cases}$

Упростим второе уравнение, умножив его на 5: $4x + y = 60$. Выразим отсюда $y$: $y = 60 - 4x$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{60 - 4x} = \frac{3}{20}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{60 - 4x + x}{x(60 - 4x)} = \frac{3}{20}$

$\frac{60 - 3x}{60x - 4x^2} = \frac{3}{20}$

Используя свойство пропорции, получаем:

$20(60 - 3x) = 3(60x - 4x^2)$

$1200 - 60x = 180x - 12x^2$

Перенесем все в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$12x^2 - 240x + 1200 = 0$

Разделим все уравнение на 12 для упрощения:

$x^2 - 20x + 100 = 0$

Это уравнение является полным квадратом:

$(x - 10)^2 = 0$

Отсюда $x = 10$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 60 - 4x$:

$y = 60 - 4 \cdot 10 = 60 - 40 = 20$.

Таким образом, первый экскаватор может вырыть котлован за 10 часов, а второй — за 20 часов.

Ответ: первый экскаватор может вырыть котлован за 10 часов, а второй — за 20 часов.

141. Если одновременно открыть две трубы, через первую из которых в бассейн будет наливаться вода, а через вторую выливаться, то бассейн наполнится за 36 ч. Если 6 ч наполнять бассейн через первую трубу, а затем открыть вторую трубу, через которую вода выливается, то бассейн наполнится через 18 ч после открытия второй трубы. За сколько часов через первую трубу можно наполнить бассейн? За сколько часов через вторую трубу выльется вся вода из бассейна?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Примем объем бассейна за 1 условную единицу.

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая (наполняющая) труба может наполнить весь бассейн. Тогда ее производительность (скорость работы) составляет $1/x$ бассейна в час.

Пусть $y$ — время в часах, за которое вторая (сливная) труба может опорожнить весь бассейн. Тогда ее производительность составляет $1/y$ бассейна в час.

1. Составление первого уравнения.

По условию, если обе трубы открыты одновременно, бассейн наполнится за 36 часов. Совместная производительность двух труб равна разности их производительностей, так как они выполняют противоположные действия:

$(1/x - 1/y)$ бассейна в час.

За 36 часов они наполнят весь бассейн (объем 1):

$36 \cdot (1/x - 1/y) = 1$

Отсюда получаем первое уравнение:

$1/x - 1/y = 1/36$

2. Составление второго уравнения.

По второму условию, сначала первая труба работала одна в течение 6 часов. За это время она наполнила часть бассейна, равную:

$6 \cdot (1/x) = 6/x$

Затем открыли вторую трубу, и обе трубы работали вместе еще 18 часов до полного наполнения бассейна. За эти 18 часов объем воды в бассейне увеличился на:

$18 \cdot (1/x - 1/y)$

Сумма наполненных объемов за оба периода равна всему объему бассейна (1):

$6/x + 18 \cdot (1/x - 1/y) = 1$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} 1/x - 1/y = 1/36 \\ 6/x + 18(1/x - 1/y) = 1 \end{cases}$

Подставим значение выражения $(1/x - 1/y)$ из первого уравнения во второе:

$6/x + 18 \cdot (1/36) = 1$

Упростим полученное уравнение:

$6/x + 1/2 = 1$

Теперь решим это уравнение относительно $x$:

$6/x = 1 - 1/2$

$6/x = 1/2$

$x = 6 \cdot 2 = 12$

Итак, мы нашли время, за которое первая труба может наполнить бассейн.

4. Нахождение времени для второй трубы.

Подставим найденное значение $x = 12$ в первое уравнение системы, чтобы найти $y$:

$1/12 - 1/y = 1/36$

Выразим $1/y$:

$1/y = 1/12 - 1/36$

Приведем дроби к общему знаменателю 36:

$1/y = 3/36 - 1/36$

$1/y = 2/36$

$1/y = 1/18$

$y = 18$

Таким образом, мы нашли время, за которое вторая труба может опорожнить бассейн.

За сколько часов через первую трубу можно наполнить бассейн?

Как было найдено из решения системы уравнений, время наполнения бассейна только через первую трубу составляет 12 часов.

Ответ: 12 часов.

За сколько часов через вторую трубу выльется вся вода из бассейна?

Как было найдено из решения системы уравнений, время, за которое вся вода выльется из полного бассейна через вторую трубу, составляет 18 часов.

Ответ: 18 часов.

142. Из села на станцию, расстояние до которой равно 12 км, вышел пешеход со скоростью 3 км/ч. Через 1 ч из села в этом же направлении вышел второй пешеход, который догнал первого, передал ему письмо и пошёл назад в село с той же скоростью. Первый пешеход пришёл на станцию, а второй вернулся в село одновременно. Найдите скорость второго пешехода.

Для решения задачи введем переменные и составим уравнение, основываясь на условии, что оба пешехода закончили свои маршруты одновременно.

Пусть $v_1 = 3$ км/ч – скорость первого пешехода, $S = 12$ км – расстояние от села до станции, а $x$ км/ч – искомая скорость второго пешехода.

1. Найдем общее время, которое был в пути первый пешеход. Он прошел всё расстояние от села до станции с постоянной скоростью.
$T_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{12 \text{ км}}{3 \text{ км/ч}} = 4$ часа.

2. Теперь рассмотрим движение второго пешехода. Он вышел на 1 час позже. К моменту его выхода первый пешеход уже прошел расстояние $S_{фора} = v_1 \times 1 \text{ ч} = 3 \times 1 = 3$ км.

3. Найдем время, через которое второй пешеход догнал первого. Скорость сближения равна разности их скоростей: $v_{сбл} = x - v_1 = x - 3$ км/ч. Время до встречи (с момента выхода второго пешехода) равно:
$t_{встречи} = \frac{S_{фора}}{v_{сбл}} = \frac{3}{x - 3}$ часа.

4. За это время второй пешеход прошел расстояние $S_{встречи}$ от села:
$S_{встречи} = x \times t_{встречи} = x \times \frac{3}{x - 3} = \frac{3x}{x - 3}$ км.

5. После встречи второй пешеход сразу повернул назад и пошел в село с той же скоростью $x$. Время на обратный путь будет равно времени, которое он затратил, чтобы дойти до места встречи:
$t_{обратно} = \frac{S_{встречи}}{x} = \frac{\frac{3x}{x - 3}}{x} = \frac{3}{x - 3}$ часа.

6. Общее время, которое второй пешеход находился в движении, составляет $t_{встречи} + t_{обратно} = \frac{3}{x - 3} + \frac{3}{x - 3} = \frac{6}{x - 3}$ часа.

7. Так как второй пешеход вышел на 1 час позже, его общее время с момента старта первого пешехода равно:
$T_2 = 1 + \frac{6}{x - 3}$ часа.

8. По условию задачи, они закончили свои маршруты одновременно, значит $T_1 = T_2$. Составим и решим уравнение:
$4 = 1 + \frac{6}{x - 3}$
$3 = \frac{6}{x - 3}$
$3(x - 3) = 6$
$3x - 9 = 6$
$3x = 15$
$x = 5$

Таким образом, скорость второго пешехода составляет 5 км/ч.

Ответ: 5 км/ч.

143. Одновременно от одного причала в одном направлении отплыли плот со скоростью 3 км/ч и лодка со скоростью 24 км/ч. Через 3 ч от этого причала в том же направлении отправился катер. Найдите скорость катера, если он догнал лодку через 11 ч 40 мин после того, как догнал плот.

Для решения задачи введем переменные:

• $v_{п} = 3$ км/ч — скорость плота.
• $v_{л} = 24$ км/ч — скорость лодки.
• $v_{к} = x$ км/ч — искомая скорость катера.

Катер отправился через 3 часа после плота и лодки. За это время плот и лодка уже успели отплыть от причала.

1. Нахождение времени, через которое катер догонит плот

К моменту старта катера плот находился в пути 3 часа и проплыл расстояние:

$S_{п} = v_{п} \cdot t = 3 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 9 \text{ км}$

Катер догоняет плот. Скорость сближения катера и плота равна разности их скоростей:

$v_{сбл1} = v_{к} - v_{п} = (x - 3) \text{ км/ч}$

Время, которое потребовалось катеру, чтобы догнать плот (с момента своего старта), равно:

$t_1 = \frac{S_{п}}{v_{сбл1}} = \frac{9}{x - 3} \text{ ч}$

2. Нахождение времени, через которое катер догонит лодку

К моменту старта катера лодка также находилась в пути 3 часа и проплыла расстояние:

$S_{л} = v_{л} \cdot t = 24 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 72 \text{ км}$

Скорость сближения катера и лодки равна:

$v_{сбл2} = v_{к} - v_{л} = (x - 24) \text{ км/ч}$

Время, которое потребовалось катеру, чтобы догнать лодку (с момента своего старта), равно:

$t_2 = \frac{S_{л}}{v_{сбл2}} = \frac{72}{x - 24} \text{ ч}$

3. Составление и решение уравнения

По условию, катер догнал лодку через 11 ч 40 мин после того, как догнал плот. Это означает, что разница во времени между этими двумя событиями составляет 11 ч 40 мин. Переведем это время в часы:

$11 \text{ ч } 40 \text{ мин} = 11 + \frac{40}{60} \text{ ч} = 11 + \frac{2}{3} \text{ ч} = \frac{33+2}{3} \text{ ч} = \frac{35}{3} \text{ ч}$

Так как катер догоняет более быструю лодку позже, чем медленный плот, то $t_2 > t_1$. Составим уравнение:

$t_2 - t_1 = \frac{35}{3}$

$\frac{72}{x - 24} - \frac{9}{x - 3} = \frac{35}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{72(x - 3) - 9(x - 24)}{(x - 24)(x - 3)} = \frac{35}{3}$

$\frac{72x - 216 - 9x + 216}{(x^2 - 3x - 24x + 72)} = \frac{35}{3}$

$\frac{63x}{x^2 - 27x + 72} = \frac{35}{3}$

Разделим обе части уравнения на 7:

$\frac{9x}{x^2 - 27x + 72} = \frac{5}{3}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$3 \cdot 9x = 5 \cdot (x^2 - 27x + 72)$

$27x = 5x^2 - 135x + 360$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$5x^2 - 135x - 27x + 360 = 0$

$5x^2 - 162x + 360 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-162)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 360 = 26244 - 7200 = 19044$

$\sqrt{D} = \sqrt{19044} = 138$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{162 + 138}{2 \cdot 5} = \frac{300}{10} = 30$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{162 - 138}{2 \cdot 5} = \frac{24}{10} = 2.4$

4. Анализ полученных корней

Скорость катера $x$ должна быть больше скорости лодки (24 км/ч) и плота (3 км/ч), чтобы он мог их догнать.
Корень $x_2 = 2.4$ км/ч не удовлетворяет этому условию, так как $2.4 < 24$ и $2.4 < 3$. Этот корень является посторонним для физического смысла задачи.
Корень $x_1 = 30$ км/ч удовлетворяет условию ($30 > 24$). Следовательно, это и есть искомая скорость катера.

Ответ: 30 км/ч.