Страница 94 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 + 5x - 6 > 0, \\ x < a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 8x - 9 \le 0, \\ x > a. \end{cases}$

1) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 + 5x - 6 > 0, \\ x < a.\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $x^2 + 5x - 6 > 0$.
Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.
Графиком функции $y = x^2 + 5x - 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 5x - 6 > 0$ выполняется при $x$, находящихся вне интервала между корнями.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.
Теперь необходимо найти пересечение этого множества с решением второго неравенства $x < a$, то есть с интервалом $(-\infty; a)$.
Рассмотрим три случая для параметра $a$ относительно корней $-6$ и $1$.
1. Если $a \le -6$.
Интервал $(-\infty; a)$ полностью содержится в луче $(-\infty; -6)$. Их пересечение дает интервал $(-\infty; a)$.
2. Если $-6 < a \le 1$.
Интервал $(-\infty; a)$ пересекается с множеством $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$ только по лучу $(-\infty; -6)$.
3. Если $a > 1$.
Интервал $(-\infty; a)$ пересекается с обоими лучами $(-\infty; -6)$ и $(1; +\infty)$. Пересечением будет объединение $(-\infty; -6) \cup (1; a)$.

Ответ: если $a \le -6$, то $x \in (-\infty; a)$; если $-6 < a \le 1$, то $x \in (-\infty; -6)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty; -6) \cup (1; a)$.

2) Решим систему неравенств:
$\begin{cases} x^2 - 8x - 9 \le 0, \\ x > a.\end{cases}$
Сначала решим первое неравенство: $x^2 - 8x - 9 \le 0$.
Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 8x - 9 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 9$ и $x_2 = -1$.
Графиком функции $y = x^2 - 8x - 9$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - 8x - 9 \le 0$ выполняется при $x$, находящихся между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-1; 9]$.
Теперь необходимо найти пересечение этого отрезка с решением второго неравенства $x > a$, то есть с интервалом $(a; +\infty)$.
Рассмотрим три случая для параметра $a$ относительно концов отрезка $[-1; 9]$.
1. Если $a < -1$.
Интервал $(a; +\infty)$ полностью накрывает отрезок $[-1; 9]$. Их пересечением будет весь отрезок $[-1; 9]$.
2. Если $-1 \le a < 9$.
Интервал $(a; +\infty)$ начинается внутри отрезка $[-1; 9]$ или в его левой граничной точке. Пересечением будет полуинтервал $(a; 9]$.
3. Если $a \ge 9$.
Интервал $(a; +\infty)$ начинается в правой граничной точке отрезка $[-1; 9]$ или правее. Общих точек у них нет. Решений в этом случае нет.

Ответ: если $a < -1$, то $x \in [-1; 9]$; если $-1 \le a < 9$, то $x \in (a; 9]$; если $a \ge 9$, то решений нет.

125. Для каждого значения $a$ решите неравенство:

1) $x^2 - (a - 4)x - 4a \ge 0;$

2) $x^2 + (2 - 5a)x + 6a^2 - 3a - 3 < 0.$

1)

Решим неравенство $x^2 - (a - 4)x - 4a \ge 0$.

Для начала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (a - 4)x - 4a = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-(a-4))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4a) = (a-4)^2 + 16a = a^2 - 8a + 16 + 16a = a^2 + 8a + 16 = (a+4)^2$.

Поскольку $D = (a+4)^2 \ge 0$ при любых действительных значениях $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{a-4 \pm \sqrt{(a+4)^2}}{2} = \frac{a-4 \pm (a+4)}{2}$.

$x_1 = \frac{a-4 + (a+4)}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

$x_2 = \frac{a-4 - (a+4)}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.

Таким образом, неравенство можно переписать в виде $(x-a)(x+4) \ge 0$. Графиком квадратичной функции $y = (x-a)(x+4)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда значение переменной $x$ меньше или равно меньшему корню, либо больше или равно большему корню. Для этого необходимо сравнить корни $a$ и $-4$.

Рассмотрим три случая:

• Если $a < -4$, то $a$ является меньшим корнем. Решением является $x \in (-\infty, a] \cup [-4, \infty)$.
• Если $a = -4$, корни совпадают ($x_1=x_2=-4$). Неравенство принимает вид $(x+4)^2 \ge 0$, что верно для любого действительного $x$. Решением является $x \in (-\infty, \infty)$.
• Если $a > -4$, то $-4$ является меньшим корнем. Решением является $x \in (-\infty, -4] \cup [a, \infty)$.

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (-\infty, a] \cup [-4, \infty)$; если $a = -4$, то $x \in (-\infty, \infty)$; если $a > -4$, то $x \in (-\infty, -4] \cup [a, \infty)$.

2)

Решим неравенство $x^2 + (2 - 5a)x + 6a^2 - 3a - 3 < 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (2 - 5a)x + 6a^2 - 3a - 3 = 0$.

Вычислим дискриминант (относительно $x$):

$D_x = (2-5a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a^2 - 3a - 3) = (4 - 20a + 25a^2) - (24a^2 - 12a - 12) = a^2 - 8a + 16 = (a-4)^2$.

Поскольку $D_x = (a-4)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни:

$x_{1,2} = \frac{-(2-5a) \pm \sqrt{(a-4)^2}}{2} = \frac{5a-2 \pm (a-4)}{2}$.

$x_1 = \frac{5a-2 + (a-4)}{2} = \frac{6a-6}{2} = 3a-3$.

$x_2 = \frac{5a-2 - (a-4)}{2} = \frac{4a+2}{2} = 2a+1$.

Неравенство можно переписать в виде $(x - (3a-3))(x - (2a+1)) < 0$. Графиком квадратичной функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется, когда значение переменной $x$ находится строго между корнями. Для этого необходимо сравнить корни $3a-3$ и $2a+1$.

Сравним выражения $3a-3$ и $2a+1$. Рассмотрим их разность: $(3a-3) - (2a+1) = a-4$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака этой разности:

• Если $a < 4$, то $a-4 < 0$, следовательно $3a-3 < 2a+1$. Решением является интервал между корнями: $x \in (3a-3, 2a+1)$.
• Если $a = 4$, то $a-4 = 0$, следовательно корни совпадают: $x_1 = x_2 = 3(4)-3=9$. Неравенство принимает вид $(x-9)^2 < 0$, что не имеет действительных решений.
• Если $a > 4$, то $a-4 > 0$, следовательно $3a-3 > 2a+1$. Решением является интервал между корнями: $x \in (2a+1, 3a-3)$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in (3a-3, 2a+1)$; если $a = 4$, то решений нет; если $a > 4$, то $x \in (2a+1, 3a-3)$.

126. Решите неравенство:

1) $|x^2 + 2x - 4| < 4$;

2) $|x^2 - 6x| > 7$;

3) $|x + 3|(x - 6) \ge 4x$;

4) $x^2 + 9|x| < 10$;

5) $x^2 - 4x + 6 > |x + 2|$;

6) $x^2 - 3|x - 3| + 8 \le 5|x + 2|$.

1) $|x^2 + 2x - 4| < 4$

Неравенство вида $|A| < B$ равносильно двойному неравенству $-B < A < B$.

$-4 < x^2 + 2x - 4 < 4$

Это эквивалентно системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 + 2x - 4 > -4 \\ x^2 + 2x - 4 < 4 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 2x > 0$

$x(x + 2) > 0$

Корни $x=0$ и $x=-2$. Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 2x - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, $x_1 = -4$, $x_2 = 2$.

Неравенство $(x+4)(x-2) < 0$ имеет решение: $x \in (-4, 2)$.

Найдем пересечение решений: $(-\infty, -2) \cup (0, \infty)$ и $(-4, 2)$.

Пересечением является $x \in (-4, -2) \cup (0, 2)$.

Ответ: $x \in (-4, -2) \cup (0, 2)$.

2) $|x^2 - 6x| > 7$

Неравенство вида $|A| > B$ равносильно совокупности двух неравенств: $A > B$ или $A < -B$.

1. $x^2 - 6x > 7$

$x^2 - 6x - 7 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 6x - 7 = 0$ равны $x_1 = -1$, $x_2 = 7$.

Решение неравенства $(x+1)(x-7) > 0$: $x \in (-\infty, -1) \cup (7, \infty)$.

2. $x^2 - 6x < -7$

$x^2 - 6x + 7 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x + 7 = 0$.

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$

$x = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$.

Решение неравенства: $x \in (3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2})$.

Объединяем полученные решения.

Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (3 - \sqrt{2}, 3 + \sqrt{2}) \cup (7, \infty)$.

3) $|x + 3|(x - 6) \geq 4x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 3 \geq 0$, то есть $x \geq -3$.

$(x + 3)(x - 6) \geq 4x$

$x^2 - 3x - 18 \geq 4x$

$x^2 - 7x - 18 \geq 0$

Корни уравнения $x^2 - 7x - 18 = 0$: $x_1 = -2$, $x_2 = 9$.

Решение неравенства $(x+2)(x-9) \geq 0$: $x \in (-\infty, -2] \cup [9, \infty)$.

Учитывая условие $x \geq -3$, получаем: $x \in [-3, -2] \cup [9, \infty)$.

Случай 2: $x + 3 < 0$, то есть $x < -3$.

$-(x + 3)(x - 6) \geq 4x$

$-x^2 + 3x + 18 \geq 4x$

$x^2 + x - 18 \leq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + x - 18 = 0$: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(-18)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{73}}{2}$.

Решение неравенства: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, \frac{-1 + \sqrt{73}}{2}]$.

Учитывая условие $x < -3$, получаем: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, -3)$.

Объединяем решения обоих случаев: $[-3, -2] \cup [9, \infty)$ и $[\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, -3)$.

Ответ: $x \in [\frac{-1 - \sqrt{73}}{2}, -2] \cup [9, \infty)$.

4) $x^2 + 9|x| < 10$

Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \geq 0$.

$t^2 + 9t < 10$

$t^2 + 9t - 10 < 0$

Корни уравнения $t^2 + 9t - 10 = 0$: $t_1 = -10$, $t_2 = 1$.

Решение неравенства $(t+10)(t-1) < 0$: $t \in (-10, 1)$.

Учитывая условие $t \geq 0$, получаем $0 \leq t < 1$.

Возвращаемся к переменной $x$:

$0 \leq |x| < 1$, что равносильно $|x| < 1$.

$-1 < x < 1$.

Ответ: $x \in (-1, 1)$.

5) $x^2 - 4x + 6 > |x + 2|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$.

$x^2 - 4x + 6 > x + 2$

$x^2 - 5x + 4 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Решение неравенства $(x-1)(x-4) > 0$: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

С учетом условия $x \geq -2$, получаем: $x \in [-2, 1) \cup (4, \infty)$.

Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

$x^2 - 4x + 6 > -(x + 2)$

$x^2 - 3x + 8 > 0$

Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = -23 < 0$. Так как коэффициент при $x^2$ положителен, парабола всегда выше оси Ox, и неравенство верно для любого $x$.

С учетом условия $x < -2$, получаем: $x \in (-\infty, -2)$.

Объединяем решения обоих случаев: $(-\infty, -2) \cup [-2, 1) \cup (4, \infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)$.

6) $x^2 - 3|x - 3| + 8 \leq 5|x + 2|$

Рассмотрим три интервала, определяемых точками, где выражения под модулем равны нулю: $x=-2$ и $x=3$.

Случай 1: $x < -2$.

$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$

$|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$

$x^2 - 3(3 - x) + 8 \leq 5(-x - 2)$

$x^2 + 8x + 9 \leq 0$

Корни $x^2 + 8x + 9 = 0$: $x = -4 \pm \sqrt{7}$.

Решение: $x \in [-4 - \sqrt{7}, -4 + \sqrt{7}]$. С учетом $x < -2$, получаем $x \in [-4 - \sqrt{7}, -2)$.

Случай 2: $-2 \leq x < 3$.

$|x - 3| = -(x - 3) = 3 - x$

$|x + 2| = x + 2$

$x^2 - 3(3 - x) + 8 \leq 5(x + 2)$

$x^2 - 2x - 11 \leq 0$

Корни $x^2 - 2x - 11 = 0$: $x = 1 \pm 2\sqrt{3}$.

Решение: $x \in [1 - 2\sqrt{3}, 1 + 2\sqrt{3}]$. С учетом $-2 \leq x < 3$, получаем $x \in [-2, 3)$.

Случай 3: $x \geq 3$.

$|x - 3| = x - 3$

$|x + 2| = x + 2$

$x^2 - 3(x - 3) + 8 \leq 5(x + 2)$

$x^2 - 8x + 7 \leq 0$

Корни $x^2 - 8x + 7 = 0$: $x_1 = 1$, $x_2 = 7$.

Решение: $x \in [1, 7]$. С учетом $x \geq 3$, получаем $x \in [3, 7]$.

Объединяем решения всех случаев: $[-4 - \sqrt{7}, -2) \cup [-2, 3) \cup [3, 7]$.

Ответ: $x \in [-4 - \sqrt{7}, 7]$.

127. Решите графически систему уравнений:

1) $\begin{cases} xy = 6, \\ x - y = 5; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 + 2x - 2, \\ y = 2 - x; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y = 5, \\ x - y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y = x - 2; \end{cases}$

5) $\begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13, \\ x - y - 5 = 0; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = -8. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 6, \\ x - y = 5. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $y = 6/x$, задает гиперболу. Её ветви расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек: (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1), (-1, -6), (-2, -3).

Второе уравнение, $x - y = 5$, можно переписать в виде $y = x - 5$. Это уравнение задает прямую. Для её построения достаточно двух точек, например, (0, -5) и (5, 0).

Построим графики в одной системе координат. Точки пересечения гиперболы и прямой являются решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (6, 1) и (-1, -6).

Ответ: (6, 1), (-1, -6).

2)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = x^2 + 2x - 2, \\ y = 2 - x. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $y = x^2 + 2x - 2$, задает параболу, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -b/(2a) = -2/(2 \cdot 1) = -1$; $y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 2 = 1 - 2 - 2 = -3$. Вершина находится в точке (-1, -3).

Второе уравнение, $y = 2 - x$, задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, 2) и (2, 0).

Построим параболу и прямую в одной системе координат. Точки их пересечения и будут решениями системы. Из графика видно, что это точки (1, 1) и (-4, 6).

Ответ: (1, 1), (-4, 6).

3)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y = 5, \\ x - y = 7. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $x^2 + y = 5$, можно переписать как $y = -x^2 + 5$. Это уравнение задает параболу, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке (0, 5).

Второе уравнение, $x - y = 7$, можно переписать как $y = x - 7$. Это уравнение задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -7) и (7, 0).

Построим графики. Точки пересечения параболы и прямой являются решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (3, -4) и (-4, -11).

Ответ: (3, -4), (-4, -11).

4)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 10, \\ y = x - 2. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 10$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение, $y = x - 2$, задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -2) и (2, 0).

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Точки их пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что это точки (3, 1) и (-1, -3).

Ответ: (3, 1), (-1, -3).

5)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13, \\ x - y - 5 = 0. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $(x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 13$, задает окружность с центром в точке (3, -1) и радиусом $R = \sqrt{13} \approx 3.6$.

Второе уравнение, $x - y - 5 = 0$, можно переписать как $y = x - 5$. Это уравнение задает прямую. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -5) и (5, 0).

Построим окружность и прямую. Точки их пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что точки пересечения имеют координаты (1, -4) и (6, 1).

Ответ: (1, -4), (6, 1).

6)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 20, \\ xy = -8. \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 20$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.47$.

Второе уравнение, $xy = -8$, можно переписать как $y = -8/x$. Это уравнение задает гиперболу. Её ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Для построения найдем несколько точек: (2, -4), (4, -2), (-2, 4), (-4, 2).

Построим окружность и гиперболу в одной системе координат. Точки их пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что графики пересекаются в четырех точках: (2, -4), (4, -2), (-2, 4) и (-4, 2).

Ответ: (2, -4), (4, -2), (-2, 4), (-4, 2).

128. Определите графически количество решений системы уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

1)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\sqrt{x} \\ y = x + 1 \end{cases} $.
Первое уравнение, $y = -\sqrt{x}$, задает график, который является ветвью параболы, симметричной относительно оси Ox, расположенной в четвертой координатной четверти. Область определения этой функции: $x \ge 0$, а область значений: $y \le 0$.
Второе уравнение, $y = x + 1$, задает прямую линию с угловым коэффициентом 1 и пересечением оси Oy в точке (0, 1).
Для того чтобы графики пересекались, должны существовать значения $x$, удовлетворяющие обоим условиям. Из первого уравнения следует, что $y \le 0$. Подставим это условие во второе уравнение: $x + 1 \le 0$, что означает $x \le -1$.
Однако, область определения первого уравнения — $x \ge 0$. Нет таких значений $x$, которые одновременно удовлетворяли бы условиям $x \ge 0$ и $x \le -1$. Следовательно, графики не пересекаются.
Ответ: 0 решений.

2)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = 3x^2 - 1 \\ y = 1 - 4x^2 \end{cases} $.
Первое уравнение, $y = 3x^2 - 1$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (0, -1).
Второе уравнение, $y = 1 - 4x^2$, задает параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке (0, 1).
Так как одна парабола открывается вверх, а другая — вниз, и их вершины находятся на оси Oy по разные стороны от начала координат, их графики обязательно пересекутся. Поскольку обе параболы симметричны относительно оси Oy, они пересекутся в двух точках, симметричных относительно этой оси.
Приравняем правые части уравнений, чтобы найти абсциссы точек пересечения:
$3x^2 - 1 = 1 - 4x^2$
$7x^2 = 2$
$x^2 = 2/7$
$x = \pm\sqrt{2/7}$
Два различных значения $x$ соответствуют двум точкам пересечения.
Ответ: 2 решения.

3)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ y = x^2 + 5 \end{cases} $.
Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R=5$.
Второе уравнение, $y = x^2 + 5$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (0, 5).
Вершина параболы (0, 5) лежит на окружности, так как $0^2 + 5^2 = 25$. Это одна точка пересечения.
Для любой другой точки на параболе ($x \neq 0$) ее ордината будет $y = x^2 + 5 > 5$.
В то же время, для любой точки на окружности максимальное значение ординаты равно 5.
Следовательно, других общих точек у графиков нет. Парабола касается окружности в своей вершине.
Ответ: 1 решение.

4)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} xy = -8 \\ y = 4 - 0.3x^2 \end{cases} $.
Первое уравнение, $y = -8/x$, задает гиперболу, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях.
Второе уравнение, $y = 4 - 0.3x^2$, задает параболу с ветвями, направленными вниз, и вершиной в точке (0, 4).
Проанализируем пересечение графиков. Ветвь параболы проходит через второй и четвертый квадранты.
В второй четверти ($x < 0, y > 0$): ветвь гиперболы всегда выше ветви параболы. Пересечений нет.
В четвертой четверти ($x > 0, y < 0$): ветвь параболы уходит в минус бесконечность быстрее, чем ветвь гиперболы, которая стремится к нулю. Следовательно, они должны пересечься. Так как обе кривые в этой четверти являются вогнутыми, они могут пересечься не более двух раз. Визуальный анализ и проверка значений показывают, что пересечение только одно.
Например, при $x=4$ парабола дает $y = 4 - 0.3(16) = -0.8$, а гипербола $y = -8/4 = -2$. Парабола выше. При $x=5$ парабола $y = 4 - 0.3(25) = -3.5$, а гипербола $y = -8/5 = -1.6$. Теперь гипербола выше. Значит, между $x=4$ и $x=5$ есть точка пересечения.
Ответ: 1 решение.

5)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} x^2 + (y-2)^2 = 16 \\ y = 2x^2 - 2 \end{cases} $.
Первое уравнение, $x^2 + (y-2)^2 = 16$, задает окружность с центром в точке (0, 2) и радиусом $R=4$. Самая нижняя точка окружности - (0, -2).
Второе уравнение, $y = 2x^2 - 2$, задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке (0, -2).
Вершина параболы совпадает с нижней точкой окружности. Это означает, что в точке (0, -2) графики касаются, и это одна общая точка.
Поскольку ветви параболы уходят вверх и "входят" внутрь окружности, они должны пересечь ее еще в двух точках, симметричных относительно оси Oy.
Подставим $x^2 = (y+2)/2$ из второго уравнения в первое:
$(y+2)/2 + (y-2)^2 = 16 \implies 2y^2 - 7y - 22 = 0$.
Корни этого уравнения для $y$: $y_1 = -2$ (соответствует $x=0$) и $y_2 = 5.5$ (соответствует $x = \pm\sqrt{15}/2$).
Всего получается три точки пересечения.
Ответ: 3 решения.

6)
Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} |y| = -x \\ y = x^2 + 4x - 1 \end{cases} $.
Первое уравнение, $|y| = -x$, определено при $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Его график состоит из двух лучей: $y = -x$ (в второй четверти) и $y = x$ (в третьей четверти), исходящих из начала координат.
Второе уравнение, $y = x^2 + 4x - 1$, задает параболу с ветвями вверх и вершиной в точке $(-2, -5)$.
Парабола пересекает ось Oy в точке (0, -1), которая находится "внутри" угла, образованного лучами. Так как ветви параболы направлены вверх, она пересечет каждый из лучей.
Найдем пересечение параболы с лучом $y=-x$ (при $x \le 0$):
$-x = x^2 + 4x - 1 \implies x^2 + 5x - 1 = 0$. Корень, удовлетворяющий $x \le 0$, это $x = (-5 - \sqrt{29})/2$. Это одна точка.
Найдем пересечение параболы с лучом $y=x$ (при $x \le 0$):
$x = x^2 + 4x - 1 \implies x^2 + 3x - 1 = 0$. Корень, удовлетворяющий $x \le 0$, это $x = (-3 - \sqrt{13})/2$. Это вторая точка.
Всего получаем две точки пересечения.
Ответ: 2 решения.