Страница 90 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Постройте в одной системе координат графики функций $y = \frac{12}{x}$ и $y = -x^2 - 3x + 4$. Определите, пользуясь полученным рисунком, количество корней уравнения $-x^2 - 3x + 4 = \frac{12}{x}$.

Для решения задачи необходимо построить графики двух функций в одной системе координат и найти количество точек их пересечения. Количество точек пересечения будет равно количеству корней исходного уравнения.

1. Построение графика функции $y = \frac{12}{x}$

Это обратная пропорциональность, ее график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях, так как коэффициент $12 > 0$. Область определения: $x \neq 0$. Составим таблицу значений для построения:

2. Построение графика функции $y = -x^2 - 3x + 4$

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-1 < 0$).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-3}{2(-1)} = -\frac{3}{2} = -1.5$

$y_в = -(-1.5)^2 - 3(-1.5) + 4 = -2.25 + 4.5 + 4 = 6.25$

Вершина параболы находится в точке $(-1.5; 6.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

• С осью OY (при $x=0$):
  $y = -0^2 - 3(0) + 4 = 4$. Точка пересечения: $(0; 4)$.
• С осью OX (при $y=0$):
  $-x^2 - 3x + 4 = 0$
  $x^2 + 3x - 4 = 0$
  По теореме Виета: $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.
  Точки пересечения: $(-4; 0)$ и $(1; 0)$.

Составим таблицу значений для построения:

3. Определение количества корней уравнения $-x^2 - 3x + 4 = \frac{12}{x}$

Построим оба графика в одной системе координат.

Количество корней уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^2 - 3x + 4$ и $y = \frac{12}{x}$.

Анализируя полученный рисунок, видим:

• При $x > 0$ (в первой четверти) графики не пересекаются.
• При $x < 0$:
  • На интервале $(-4; 0)$ график параболы лежит выше оси OX ($y > 0$), а график гиперболы — ниже оси OX ($y < 0$), поэтому пересечений нет.
  • На интервале $(-\infty; -4]$ оба графика находятся в третьей и четвертой четвертях. Из графика видно, что они пересекаются в одной точке.

Таким образом, графики функций имеют только одну точку пересечения.

Ответ: уравнение имеет 1 корень.

94. Найдите координаты точки параболы $y = x^2 - 2x - 6$, у которой:

1) абсцисса и ордината — противоположные числа;

2) разность абсциссы и ординаты равна $-4$.

1) абсцисса и ордината — противоположные числа;
Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 - 2x - 6$.
Условие, что абсцисса ($x$) и ордината ($y$) являются противоположными числами, означает, что $y = -x$.
Для нахождения координат искомой точки (или точек) необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = x^2 - 2x - 6 \\ y = -x \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$-x = x^2 - 2x - 6$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x + x - 6 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$ для каждого найденного значения $x$, используя условие $y = -x$:
1. Для $x_1 = 3$, получаем $y_1 = -3$. Координаты первой точки: $(3, -3)$.
2. Для $x_2 = -2$, получаем $y_2 = -(-2) = 2$. Координаты второй точки: $(-2, 2)$.
Ответ: $(3, -3)$ и $(-2, 2)$.

2) разность абсциссы и ординаты равна –4.
Условие, что разность абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) равна –4, записывается как $x - y = -4$.
Из этого уравнения выразим $y$: $y = x + 4$.
Теперь решим систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и полученного линейного уравнения:
$ \begin{cases} y = x^2 - 2x - 6 \\ y = x + 4 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + 4 = x^2 - 2x - 6$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 - 2x - x - 6 - 4 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя соотношение $y = x + 4$:
1. Для $x_1 = 5$, получаем $y_1 = 5 + 4 = 9$. Координаты первой точки: $(5, 9)$.
2. Для $x_2 = -2$, получаем $y_2 = -2 + 4 = 2$. Координаты второй точки: $(-2, 2)$.
Ответ: $(5, 9)$ и $(-2, 2)$.

95. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = 3x^2 - 6x + 1$;

2) $f(x) = -\frac{1}{4}x^2 + 2x + 10$;

3) $f(x) = 9 - 18x - 0.6x^2$;

4) $f(x) = 11x^2 - 3x$.

1. f(x) = 3x² - 6x + 1

   Данная функция является квадратичной вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициенты: $a = 3$, $b = -6$, $c = 1$.

   Поскольку старший коэффициент $a = 3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы является точкой минимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$.

   Ордината вершины $y_v$ — это значение функции в точке $x_v$.

   $y_v = f(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 1 = 3 - 6 + 1 = -2$.

   Вершина параболы находится в точке $(1, -2)$. Минимальное значение функции равно $-2$.

   Следовательно, область значений функции (все возможные значения $y$): $E(f) = [-2, +\infty)$.

   Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от неё. Таким образом, промежуток убывания — $(-\infty, 1]$, а промежуток возрастания — $[1, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = [-2, +\infty)$; промежуток возрастания: $[1, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, 1]$.

2. f(x) = -1/4 * x² + 2x + 10

   Данная функция является квадратичной вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициенты: $a = -\frac{1}{4}$, $b = 2$, $c = 10$.

   Поскольку старший коэффициент $a = -\frac{1}{4} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы является точкой максимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{4})} = -\frac{2}{-\frac{1}{2}} = 4$.

   Ордината вершины $y_v = f(x_v)$.

   $y_v = f(4) = -\frac{1}{4}(4)^2 + 2(4) + 10 = -4 + 8 + 10 = 14$.

   Вершина параболы находится в точке $(4, 14)$. Максимальное значение функции равно $14$.

   Следовательно, область значений функции: $E(f) = (-\infty, 14]$.

   Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от неё. Таким образом, промежуток возрастания — $(-\infty, 4]$, а промежуток убывания — $[4, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = (-\infty, 14]$; промежуток возрастания: $(-\infty, 4]$; промежуток убывания: $[4, +\infty)$.

3. f(x) = 9 - 18x - 0,6x²

   Запишем функцию в стандартном виде $f(x) = -0.6x^2 - 18x + 9$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Коэффициенты: $a = -0.6$, $b = -18$, $c = 9$.

   Поскольку старший коэффициент $a = -0.6 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы является точкой максимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{-18}{2 \cdot (-0.6)} = \frac{18}{-1.2} = -\frac{180}{12} = -15$.

   Ордината вершины $y_v = f(x_v)$.

   $y_v = f(-15) = -0.6(-15)^2 - 18(-15) + 9 = -0.6(225) + 270 + 9 = -135 + 270 + 9 = 144$.

   Вершина параболы находится в точке $(-15, 144)$. Максимальное значение функции равно $144$.

   Следовательно, область значений функции: $E(f) = (-\infty, 144]$.

   Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от неё. Таким образом, промежуток возрастания — $(-\infty, -15]$, а промежуток убывания — $[-15, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = (-\infty, 144]$; промежуток возрастания: $(-\infty, -15]$; промежуток убывания: $[-15, +\infty)$.

4. f(x) = 11x² - 3x

   Данная функция является квадратичной вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, её график — парабола. Коэффициенты: $a = 11$, $b = -3$, $c = 0$.

   Поскольку старший коэффициент $a = 11 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы является точкой минимума функции.

   Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

   $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 11} = \frac{3}{22}$.

   Ордината вершины $y_v = f(x_v)$.

   $y_v = f(\frac{3}{22}) = 11(\frac{3}{22})^2 - 3(\frac{3}{22}) = 11 \cdot \frac{9}{484} - \frac{9}{22} = \frac{9}{44} - \frac{18}{44} = -\frac{9}{44}$.

   Вершина параболы находится в точке $(\frac{3}{22}, -\frac{9}{44})$. Минимальное значение функции равно $-\frac{9}{44}$.

   Следовательно, область значений функции: $E(f) = [-\frac{9}{44}, +\infty)$.

   Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от неё. Таким образом, промежуток убывания — $(-\infty, \frac{3}{22}]$, а промежуток возрастания — $[\frac{3}{22}, +\infty)$.

   Ответ: Область значений: $E(f) = [-\frac{9}{44}, +\infty)$; промежуток возрастания: $[\frac{3}{22}, +\infty)$; промежуток убывания: $(-\infty, \frac{3}{22}]$.

96. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \leq -1 \\ x^2 - 2x + 1, & \text{если } -1 < x < 3 \\ 4, & \text{если } x \geq 3 \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} 3x - 4, & \text{если } x \leq 2 \\ 9 - x^2, & \text{если } 2 < x < 4 \\ x, & \text{если } x \geq 4 \end{cases}$

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 3 - x, & \text{если } x \le -1 \\ x^2 - 2x + 1, & \text{если } -1 < x < 3 \\ 4, & \text{если } x \ge 3 \end{cases}$ разобьем задачу на три части, соответствующие каждому интервалу.

I. Построение графика $y = 3 - x$ на интервале $x \le -1$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем значение функции на границе интервала:
При $x = -1$, $y = 3 - (-1) = 4$. Точка $(-1, 4)$ принадлежит графику (закрашенная точка).

Возьмем еще одну точку из этого интервала, например, $x = -3$:
$y = 3 - (-3) = 6$. Точка $(-3, 6)$.

Таким образом, на интервале $(-\infty, -1]$ график представляет собой луч, выходящий из точки $(-1, 4)$ и проходящий через точку $(-3, 6)$.

II. Построение графика $y = x^2 - 2x + 1$ на интервале $-1 < x < 3$.

Это квадратичная функция. Выражение можно упростить, используя формулу квадрата разности: $x^2 - 2x + 1 = (x-1)^2$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке, где $x - 1 = 0$, то есть $x = 1$.

Координаты вершины: $x_v = 1$, $y_v = (1-1)^2 = 0$. Точка вершины $(1, 0)$. Эта точка принадлежит интервалу $(-1, 3)$.

Найдем значения функции на границах интервала (эти точки будут выколотыми, так как неравенства строгие):
При $x \to -1$, $y \to (-1-1)^2 = (-2)^2 = 4$. Точка $(-1, 4)$ (выколотая).
При $x \to 3$, $y \to (3-1)^2 = 2^2 = 4$. Точка $(3, 4)$ (выколотая).

На интервале $(-1, 3)$ график — это часть параболы с вершиной в $(1, 0)$, проходящая между выколотыми точками $(-1, 4)$ и $(3, 4)$.

III. Построение графика $y = 4$ на интервале $x \ge 3$.

Это постоянная функция, ее график — горизонтальная прямая.
При $x = 3$, $y = 4$. Точка $(3, 4)$ принадлежит графику (закрашенная).

На интервале $[3, +\infty)$ график представляет собой горизонтальный луч, выходящий из точки $(3, 4)$ вправо.

Объединение графиков.

Совместим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x=-1$ значение функции $f(-1) = 4$, а предел справа $\lim_{x\to -1^+} f(x) = 4$. Следовательно, в этой точке функция непрерывна. Выколотая точка $(-1, 4)$ от параболы "закрашивается" точкой от луча.

Аналогично, в точке $x=3$ предел слева $\lim_{x\to 3^-} f(x) = 4$, а значение функции $f(3)=4$. Функция непрерывна и в этой точке. Выколотая точка $(3, 4)$ от параболы "закрашивается" точкой от горизонтального луча.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию. На интервале $(-\infty, -1]$ это луч, идущий из точки $(-1, 4)$ вверх и влево. На интервале $(-1, 3)$ это дуга параболы с вершиной в точке $(1, 0)$, соединяющая точки $(-1, 4)$ и $(3, 4)$. На интервале $[3, +\infty)$ это горизонтальный луч $y=4$, идущий из точки $(3, 4)$ вправо.

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} 3x - 4, & \text{если } x \le 2 \\ 9 - x^2, & \text{если } 2 < x < 4 \\ x, & \text{если } x \ge 4 \end{cases}$ также рассмотрим каждый интервал отдельно.

I. Построение графика $y = 3x - 4$ на интервале $x \le 2$.

Это линейная функция, ее график — прямая линия. Найдем две точки.
На границе интервала при $x = 2$:
$y = 3(2) - 4 = 6 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику (закрашенная).
Возьмем еще одну точку, например, $x = 0$:
$y = 3(0) - 4 = -4$. Точка $(0, -4)$.

График на интервале $(-\infty, 2]$ — это луч, заканчивающийся в точке $(2, 2)$ и проходящий через точку $(0, -4)$.

II. Построение графика $y = 9 - x^2$ на интервале $2 < x < 4$.

Это квадратичная функция, график — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $x_v = 0$, $y_v = 9 - 0^2 = 9$. Точка $(0, 9)$. Эта точка не принадлежит интервалу $(2, 4)$.

Найдем значения на границах интервала (точки будут выколотыми):
При $x \to 2$, $y \to 9 - 2^2 = 9 - 4 = 5$. Точка $(2, 5)$ (выколотая).
При $x \to 4$, $y \to 9 - 4^2 = 9 - 16 = -7$. Точка $(4, -7)$ (выколотая).

На интервале $(2, 4)$ график — это дуга параболы, соединяющая выколотые точки $(2, 5)$ и $(4, -7)$.

III. Построение графика $y = x$ на интервале $x \ge 4$.

Это линейная функция, ее график — прямая, проходящая через начало координат под углом 45 градусов.
На границе интервала при $x = 4$:
$y = 4$. Точка $(4, 4)$ принадлежит графику (закрашенная).
Возьмем еще одну точку, например, $x = 5$:
$y = 5$. Точка $(5, 5)$.

График на интервале $[4, +\infty)$ — это луч, выходящий из точки $(4, 4)$ и проходящий через точку $(5, 5)$.

Объединение графиков.

Совместим все три части на одной координатной плоскости. В точке $x=2$ график терпит разрыв: значение функции слева равно $2$ (точка $(2, 2)$ закрашена), а предел справа равен $5$ (точка $(2, 5)$ выколота). Это разрыв первого рода (скачок).

В точке $x=4$ также наблюдается разрыв: предел функции слева равен $-7$ (точка $(4, -7)$ выколота), а значение справа равно $4$ (точка $(4, 4)$ закрашена). Это также разрыв первого рода (скачок).

Ответ: График функции состоит из трех отдельных частей. На интервале $(-\infty, 2]$ это луч прямой $y=3x-4$, заканчивающийся в точке $(2, 2)$. На интервале $(2, 4)$ это дуга параболы $y=9-x^2$, идущая от точки $(2, 5)$ до точки $(4, -7)$ (концы выколоты). На интервале $[4, +\infty)$ это луч прямой $y=x$, начинающийся в точке $(4, 4)$.

97. Постройте график функции $y = -x^2 - x + 6$, определённой на промежутке $[-2; 3]$. Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Постройте график функции $y = -x^2 - x + 6$, определённой на промежутке $[-2; 3]$

Чтобы построить график данной квадратичной функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить основные свойства параболы.
   Функция $y = -x^2 - x + 6$ является квадратичной, её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Найти координаты вершины параболы.
   Координаты вершины $(x_0, y_0)$ вычисляются по формулам: $x_0 = -\frac{b}{2a}$ и $y_0 = y(x_0)$.
   Для нашей функции $a=-1$, $b=-1$.
   $x_0 = -\frac{-1}{2 \cdot (-1)} = -0.5$.
   $y_0 = -(-0.5)^2 - (-0.5) + 6 = -0.25 + 0.5 + 6 = 6.25$.
   Вершина параболы находится в точке $(-0.5; 6.25)$.
3. Найти значения функции на концах заданного промежутка $[-2; 3]$.
   При $x = -2$: $y = -(-2)^2 - (-2) + 6 = -4 + 2 + 6 = 4$. Получаем точку $(-2; 4)$.
   При $x = 3$: $y = -(3)^2 - 3 + 6 = -9 - 3 + 6 = -6$. Получаем точку $(3; -6)$.
4. Найти несколько дополнительных точек для точности построения.
   Составим таблицу значений функции на заданном отрезке:

   $x$	-2	-1	-0.5	0	1	2	3
   $y$	4	6	6.25	6	4	0	-6

   Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной линией, мы получим график функции на промежутке $[-2; 3]$.

Ответ: График функции на промежутке $[-2; 3]$ представляет собой дугу параболы с ветвями вниз, с вершиной в точке $(-0.5; 6.25)$, проходящую через точки $(-2; 4)$ и $(3; -6)$.

Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции

Область значений функции на отрезке — это множество всех значений, которые принимает переменная $y$, когда $x$ изменяется от $-2$ до $3$. Для её нахождения необходимо определить наименьшее и наибольшее значение функции на этом отрезке.

1. Нахождение наибольшего значения.
Из графика видно, что наибольшее значение функция достигает в своей вершине, поскольку ветви параболы направлены вниз, а абсцисса вершины $x_0 = -0.5$ принадлежит отрезку $[-2; 3]$.
$y_{наиб} = y_{вершины} = 6.25$.

2. Нахождение наименьшего значения.
Наименьшее значение на отрезке для параболы с ветвями вниз достигается на одном из его концов. Сравним значения функции на концах отрезка:
$y(-2) = 4$
$y(3) = -6$
Наименьшее из этих двух значений равно $-6$.
$y_{наим} = -6$.

Следовательно, область значений функции на заданном промежутке — это все числа от наименьшего значения до наибольшего включительно.

Ответ: $[-6; 6.25]$.

98. Найдите наименьшее значение функции $y = 4x^2 + 8x - 7$ на промежутке:

1) $[-3; 4];$

2) $[-4; -2];$

3) $[-0.5; 3].$

Для нахождения наименьшего значения квадратичной функции $y = 4x^2 + 8x - 7$ на заданных промежутках, сначала определим координаты вершины параболы, которая является графиком этой функции. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен ($a=4 > 0$), ветви параболы направлены вверх, и в вершине функция достигает своего наименьшего значения.

Координата $x$ вершины параболы находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае $a=4$, $b=8$.

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot 4} = -\frac{8}{8} = -1$.

Значение функции в вершине (координата $y$ вершины) равно:

$y_v = y(-1) = 4(-1)^2 + 8(-1) - 7 = 4 \cdot 1 - 8 - 7 = 4 - 8 - 7 = -11$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(-1, -11)$.

Теперь рассмотрим каждый промежуток отдельно.

1) [-3; 4]

Промежуток $[-3; 4]$. Координата вершины $x_v = -1$ принадлежит этому промежутку, так как $-3 \le -1 \le 4$. Поскольку вершина является точкой минимума для всей функции, то наименьшее значение на данном промежутке будет достигаться именно в вершине.

Наименьшее значение функции: $y_{min} = y_v = y(-1) = -11$.

Ответ: -11

2) [-4; -2]

Промежуток $[-4; -2]$. Координата вершины $x_v = -1$ не принадлежит этому промежутку. В этом случае наименьшее значение функции на отрезке достигается на одном из его концов. Найдем значения функции на концах промежутка:

$y(-4) = 4(-4)^2 + 8(-4) - 7 = 4 \cdot 16 - 32 - 7 = 64 - 32 - 7 = 25$.

$y(-2) = 4(-2)^2 + 8(-2) - 7 = 4 \cdot 4 - 16 - 7 = 16 - 16 - 7 = -7$.

Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $\min(25, -7) = -7$.

Ответ: -7

3) [-0,5; 3]

Промежуток $[-0,5; 3]$. Координата вершины $x_v = -1$ не принадлежит этому промежутку. Найдем значения функции на концах промежутка:

$y(-0,5) = 4(-0,5)^2 + 8(-0,5) - 7 = 4 \cdot 0,25 - 4 - 7 = 1 - 4 - 7 = -10$.

$y(3) = 4(3)^2 + 8(3) - 7 = 4 \cdot 9 + 24 - 7 = 36 + 24 - 7 = 53$.

Сравнивая эти значения, находим наименьшее: $\min(-10, 53) = -10$.

Ответ: -10

99. При каких значениях $p$ и $q$ график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $C(-1; -10)$ и $D(2; 5)$?

Для того чтобы график функции $y = x^2 + px + q$ проходил через указанные точки, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Мы можем составить систему уравнений, подставив координаты каждой точки в уравнение функции.

1. Подставим координаты точки $C(-1; -10)$ в уравнение $y = x^2 + px + q$:

$-10 = (-1)^2 + p \cdot (-1) + q$

$-10 = 1 - p + q$

Перенесем переменные в одну сторону, а числа в другую, чтобы получить первое уравнение:

$p - q = 1 + 10$

$p - q = 11$

2. Подставим координаты точки $D(2; 5)$ в уравнение $y = x^2 + px + q$:

$5 = 2^2 + p \cdot 2 + q$

$5 = 4 + 2p + q$

Получим второе уравнение:

$2p + q = 5 - 4$

$2p + q = 1$

3. Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $p$ и $q$:

$\begin{cases} p - q = 11 \\ 2p + q = 1 \end{cases}$

Решим эту систему методом сложения. Сложим левые и правые части уравнений:

$(p - q) + (2p + q) = 11 + 1$

$3p = 12$

$p = \frac{12}{3}$

$p = 4$

4. Подставим найденное значение $p=4$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $q$. Используем второе уравнение $2p + q = 1$:

$2 \cdot 4 + q = 1$

$8 + q = 1$

$q = 1 - 8$

$q = -7$

Таким образом, значения параметров, при которых график функции проходит через заданные точки, равны $p=4$ и $q=-7$.

Ответ: $p = 4$, $q = -7$.

100. При каких значениях $a$ и $b$ парабола $y = ax^2 + bx + 2$ проходит через точки $M(3; -1)$ и $K(-6; 26)$?

Поскольку парабола, заданная уравнением $y = ax^2 + bx + 2$, проходит через точки M(3; -1) и K(-6; 26), координаты этих точек должны удовлетворять данному уравнению. Это позволяет нам составить систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов $a$ и $b$.

1. Подставим координаты точки M(3; -1) в уравнение параболы:
$y = ax^2 + bx + 2$
$-1 = a \cdot (3)^2 + b \cdot 3 + 2$
$-1 = 9a + 3b + 2$
$9a + 3b = -1 - 2$
$9a + 3b = -3$
Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:
$3a + b = -1$ (Уравнение 1)

2. Подставим координаты точки K(-6; 26) в уравнение параболы:
$y = ax^2 + bx + 2$
$26 = a \cdot (-6)^2 + b \cdot (-6) + 2$
$26 = 36a - 6b + 2$
$36a - 6b = 26 - 2$
$36a - 6b = 24$
Разделим обе части уравнения на 6 для упрощения:
$6a - b = 4$ (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений: $$ \begin{cases} 3a + b = -1 \\ 6a - b = 4 \end{cases} $$ Решим эту систему методом сложения. Сложим Уравнение 1 и Уравнение 2:
$(3a + b) + (6a - b) = -1 + 4$
$9a = 3$
$a = \frac{3}{9}$
$a = \frac{1}{3}$

Подставим найденное значение $a$ в Уравнение 1, чтобы найти $b$:
$3a + b = -1$
$3 \cdot (\frac{1}{3}) + b = -1$
$1 + b = -1$
$b = -1 - 1$
$b = -2$

Таким образом, парабола проходит через заданные точки при значениях $a = \frac{1}{3}$ и $b = -2$.

Ответ: $a = \frac{1}{3}$, $b = -2$.