Номер 94, страница 90 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите координаты точки параболы $y = x^2 - 2x - 6$, у которой:

1) абсцисса и ордината — противоположные числа;

2) разность абсциссы и ординаты равна $-4$.

1) абсцисса и ордината — противоположные числа;
Уравнение параболы дано в виде $y = x^2 - 2x - 6$.
Условие, что абсцисса ($x$) и ордината ($y$) являются противоположными числами, означает, что $y = -x$.
Для нахождения координат искомой точки (или точек) необходимо решить систему уравнений:
$ \begin{cases} y = x^2 - 2x - 6 \\ y = -x \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$-x = x^2 - 2x - 6$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x + x - 6 = 0$
$x^2 - x - 6 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями уравнения являются $x_1 = 3$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующие значения ординаты $y$ для каждого найденного значения $x$, используя условие $y = -x$:
1. Для $x_1 = 3$, получаем $y_1 = -3$. Координаты первой точки: $(3, -3)$.
2. Для $x_2 = -2$, получаем $y_2 = -(-2) = 2$. Координаты второй точки: $(-2, 2)$.
Ответ: $(3, -3)$ и $(-2, 2)$.

2) разность абсциссы и ординаты равна –4.
Условие, что разность абсциссы ($x$) и ординаты ($y$) равна –4, записывается как $x - y = -4$.
Из этого уравнения выразим $y$: $y = x + 4$.
Теперь решим систему уравнений, состоящую из уравнения параболы и полученного линейного уравнения:
$ \begin{cases} y = x^2 - 2x - 6 \\ y = x + 4 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$x + 4 = x^2 - 2x - 6$
Перенесем все члены в одну сторону:
$x^2 - 2x - x - 6 - 4 = 0$
$x^2 - 3x - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Корнями являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня, используя соотношение $y = x + 4$:
1. Для $x_1 = 5$, получаем $y_1 = 5 + 4 = 9$. Координаты первой точки: $(5, 9)$.
2. Для $x_2 = -2$, получаем $y_2 = -2 + 4 = 2$. Координаты второй точки: $(-2, 2)$.
Ответ: $(5, 9)$ и $(-2, 2)$.